Trong các làng nghề chế tạo đá mỹ nghệ, người ta làm được nhiều đồ trang sức bằng đá rất đẹp. Một người thợ thủ công chế tạo vòng đeo tay hình tròn bằng đá xanh, biết rằng bán kính vòng ngoài của vòng là \(7\,{\rm{cm}}\), bán kính vòng trong là \(5\,{\rm{cm}}\) (hình vẽ). Tính thể tích của chiếc vòng (theo đơn vị đo là centimét khối và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Vận tốc của chất điểm tại thời điểm \[t = 15\] là \[v\left( {15} \right) = 0\;\].

Quãng đường chất điểm đi được trong thời gian \[3\] giây đầu \[\left( {0 \le t \le 3} \right)\] là \(S = \int\limits_0^3 {11\,{\rm{d}}t\,\,\,(m)} \).

Gọi hàm vận tốc thời gian \(7\) giây cuối \[\left( {8 \le t \le 15} \right)\] có dạng là \[\left( d \right):{\rm{ }}y = at + b\].

Đường thẳng \[\left( d \right)\] đi qua 2 điểm \[\left( {8\,;21} \right)\] và \[\left( {15\,;0} \right)\] nên ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}8a + b = 21\\15a + b = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 3\\b = 45\end{array} \right.\)\[ \Rightarrow \left( d \right):y =  - 3t + 45\].

Quãng đường chất điểm đi được trong thời gian \[t\] giây \[\left( {8 \le t \le 15} \right)\] là:

\(S = \int\limits_8^{15} {\left( { - 3t + 45} \right)\,{\rm{d}}t = 73,5\,\,{\rm{(m)}}} \).

Gọi hàm vận tốc thời gian \(t\) giây \[\left( {3 \le t \le 8} \right)\]có dạng là \(\left( P \right):y = a{t^2} + bt + c\).

Parabol \[\left( P \right)\] đi qua các điểm \[\left( {3\,;11} \right)\], \[\left( {5\,;3} \right)\] và \[\left( {8\,;21} \right)\] nên ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}9a + 3b + c = 11\\25a + 5b + c = 3\\64a + 8b + c = 21\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b =  - 20\\c = 53\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left( P \right):y = 2{t^2} - 20t + 53\).

Quãng đường chất điểm đi được trong thời gian \(t\) giây \[\left( {3 \le t \le 8} \right)\] là:

\(S = \int\limits_3^8 {\left( {2{t^2} - 20t + 53} \right)\,{\rm{d}}t = \frac{{115}}{3}} \,\,{\rm{(m)}}\).

Vận tốc trung bình của chất điểm trong thời gian \[t\] giây \[\left( {3 \le t \le 8} \right)\] là:

\[\frac{{115}}{3}:\left( {8 - 3} \right) = \frac{{23}}{3} > 7\;\].

Đáp án:       a) Sai,         b) Đúng,     c) Đúng,      d) Sai.

Từ định nghĩa “tập hợp các điểm cách đều 1 điểm và 1 đường thẳng (điểm không thuộc đường thẳng) là một đường parabol”, ta suy ra miền D được giới hạn bởi 4 đường parabol có tiêu điểm là tâm hình vuông và đường chuẩn là cạnh của hình vuông.