Câu hỏi:

17/06/2025 3

Cho \[\int {\frac{1}{{x{{\ln }^2}x}}} \,{\rm{d}}x = F\left( x \right) + C\]. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. \[F'\left( x \right) = - \frac{1}{{\ln x}}\].

B. \[F'\left( x \right) = - \frac{1}{{\ln x}} + C\].

C. \[F'\left( x \right) = \frac{1}{{x{{\ln }^2}x}}\].

D. \[F'\left( x \right) = - \frac{1}{{{{\ln }^2}x}}\].

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề ôn luyện Toán theo Chủ đề 4. Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng (Đề số 2) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có \[{\left[ {F\left( x \right)} \right]^\prime } = {\left( {\int {\frac{1}{{x{{\ln }^2}x}}} \,{\rm{d}}x} \right)^\prime } = \frac{1}{{x{{\ln }^2}x}}\]. Chọn C.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Giả sử lợi nhuận biên (tính bằng triệu đồng) của một sản phẩm được mô hình hóa bằng công thức \(P'\left( x \right) = - 0,0008x + 10,4\). Ở đây \(P\left( x \right)\) là lợi nhuận (tính bằng triệu đồng) khi bán được \(x\) đơn vị sản phẩm.

a) Lợi nhuận khi bán được \(x\) đơn vị sản phẩm được tính bằng công thức

\(P\left( x \right) = - 0,0008{x^2} + 10,4x\).

b) Lợi nhuận khi bán được \(50\) sản phẩm đầu tiên là \(519\) triệu đồng.

c) Biết sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ \(50\) lên \(a\) đơn vị sản phẩm lớn hơn \(517\) triệu đồng, khi đó giá trị nhỏ nhất của \(a\) là \(100\).

d) Sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ \(50\) lên \(55\) đơn vị sản phẩm là \(49,79\) triệu đồng.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có \(P\left( x \right) = \int {P'\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = \int {\left( { - 0,0008x + 10,4} \right){\rm{d}}x = - 0,0004{x^2} + 10,4x + C} \).

Lợi nhuận ban đầu chưa có nên \(P\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0\).

Vậy \(P\left( x \right) = - 0,0004{x^2} + 10,4x\).

Ta có \(P\left( {50} \right) = - 0,0004 \cdot {50^2} + 10,4 \cdot 50 = 519\) (triệu đồng).

Vậy lợi nhuận khi bán được \(50\) sản phẩm đầu tiên là \(519\) triệu đồng.

Sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ \(50\) lên \(a\) đơn vị sản phẩm là:

\(\int\limits_{50}^a {P'\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = \int\limits_{50}^a {\left( { - 0,0008x + 10,4} \right)} \,{\rm{d}}x = \left. {\left( { - 0,0004{x^2} + 10,4x} \right)} \right|_{50}^a = - 0,0004{a^2} + 10,4a - 519\).

Theo đề ta có \( - 0,0004{a^2} + 10,4a - 519 > 517\)

\( \Leftrightarrow - 0,0004{a^2} + 10,4a - 1036 > 0 \Leftrightarrow 100 < a < 25\,900\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(a\) là \(101\).

Sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ \(50\) lên \(55\) đơn vị sản phẩm là:

\(\int\limits_{50}^{55} {P'\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = \int\limits_{50}^{55} {\left( { - 0,0008x + 10,4} \right)} \,{\rm{d}}x = \left. {\left( { - 0,0004{x^2} + 10,4x} \right)} \right|_{50}^{55} = 51,79\) (triệu đồng).

Đáp án: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.

Câu 2

Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ độ cao \(2\,\,{\rm{m}}\) với vận tốc tại thời điểm \(t\) cho bởi công thức \(v\left( t \right) = 100 - 9,8t\,\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)\) (\(t = 0\) là thời điểm viên đạn được bắn lên). Tìm độ cao (tính theo \({\rm{km}}\)) của viên đạn so với mặt đất ở thời điểm 1 giây sau khi viên đạn đạt độ cao lớn nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Xem đáp án

Lời giải

Gọi \(h\left( t \right)\) là độ cao (tính bằng mét) của viên đạn tại thời điểm \(t\) (tính bằng giây).

Ta có: \(h\left( t \right) = \int {v\left( t \right){\rm{d}}t = \int {\left( {100 - 9,8t} \right){\rm{d}}t = - 4,9{t^2} + 100t + C} } \).

Tại thời điểm \(t = 0\), ta có \(h\left( t \right) = 2 \Rightarrow C = 2\). Vậy \(h\left( t \right) = - 4,9{t^2} + 100t + 2\).

Ta có \(h'\left( t \right) = - 9,8t + 100;\) \(h'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{500}}{{49}}\).

Bảng biến thiên:

v (ảnh 1)

Từ bảng biến thiên suy ra viên đạn đạt độ cao lớn nhất tại thời điểm \(t = \frac{{500}}{{49}}\).

Do đó độ cao của viên đạn so với mặt đất ở thời điểm 1 giây sau khi viên đạn đạt độ cao lớn nhất là \(h\left( {\frac{{500}}{{49}} + 1} \right) \approx 507,3\,\,{\rm{m}} \approx 0,51\,\,{\rm{km}}\).

Đáp án: \(0,51\).

Câu 3

Cho hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 5x - 7}}{x}\].

a) \[\int {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = \frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 7\ln x + C\].

b) Hàm số \[f\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[g\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 7}}{{{x^2}}}\].

c) \[\int\limits_{ - 2}^{ - 1} {f\left( x \right){\rm{d}}} x = \frac{m}{n} + m\ln n\], với \[m,n \in {\mathbb{N}^ * }\], \[\frac{m}{n}\] là phân số tối giản. Tổng \[m + 2025n = 4057\].

d) Gọi \[G\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right)\] thỏa mãn \[G\left( 1 \right) = 4\] và \[G\left( 3 \right) + G\left( { - 9} \right) = 20\]. Khi đó \[G\left( { - 6} \right) = a\ln 2 + b\ln 3 + c\], với \[a,b,c\] là các số hữu tỉ. Tổng \[a + b + c = \frac{2}{3}\].

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho hàm số \(f\left( x \right) = 1 + \frac{1}{x}\) có đồ thị \(\left( C \right)\) và hàm số \(g\left( x \right) = - \frac{1}{4}x + \frac{9}{4}\) có đồ thị \(\left( d \right)\) (xem hình bên).

a) \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = x - \ln \left| x \right| + C} \) với \(C\) là hằng số.
b) Nếu \(f\left( x \right)\) có một nguyên hàm là hàm số \(F\left( x \right)\) và \(F\left( 1 \right) = 0\) thì \(F\left( 2 \right) = 1 + \ln 2\).

c) Hình phẳng \({H_1}\) (phần gạch chéo) giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\), đồ thị \(\left( d \right)\) và các đường \(x = 1,x = 4\) có diện tích là \({S_1} = \frac{{15}}{8} - \ln 4\).

d) Nếu \({S_1},{S_2}\) lần lượt là diện tích hình phẳng \({H_1}\) (phần gạch chéo) và \({H_2}\) (hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\), trục hoành và các đường \(x = 1,x = 4\)) thì \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{5}{8}\).

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{x}{2} + \cos x\).

a) Hàm số \(f\left( x \right)\) có tập xác định là đoạn \[\left[ { - 1\,;\,1} \right]\].

b) \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = {x^2} + \sin x} \).

c) \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x = 1 + \sin 2} \).

d) Nếu hàm số \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) và thoả mãn \(F\left( 0 \right) = 1\) thì \(F\left( 1 \right) = \frac{1}{4}\).

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\), biết \(f\left( x \right) = 16{x^3} - 15{x^2} + 2x\int\limits_1^2 {f\left( t \right){\rm{d}}t} - 21\). Giá trị của \(f\left( 2 \right)\) bằng bao nhiêu?

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết hàm số \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\) thoả mãn \(F\left( 5 \right) = 2 + F\left( 1 \right)\). Giá trị của \(\int\limits_1^5 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \) bằng

A. \(8\).

B. \(2\).

C. \( - 2\).

D. \( - 8\).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Cho \[\int {\frac{1}{{x{{\ln }^2}x}}} \,{\rm{d}}x = F\left( x \right) + C\]. Khẳng định nào dưới đây đúng?

PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\), biết \(f\left( x \right) = 16{x^3} - 15{x^2} + 2x\int\limits_1^2 {f\left( t \right){\rm{d}}t} - 21\). Giá trị của \(f\left( 2 \right)\) bằng bao nhiêu?

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\), biết \(f\left( x \right) = 16{x^3} - 15{x^2} + 2x\int\limits_1^2 {f\left( t \right){\rm{d}}t} - 21\). Giá trị của \(f\left( 2 \right)\) bằng bao nhiêu?