PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{x}{2} + \cos x\).

a) Hàm số \(f\left( x \right)\) có tập xác định là đoạn \[\left[ { - 1\,;\,1} \right]\].

b) \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = {x^2} + \sin x} \).

c) \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x = 1 + \sin 2} \).

d) Nếu hàm số \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) và thoả mãn \(F\left( 0 \right) = 1\) thì \(F\left( 1 \right) = \frac{1}{4}\).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề ôn luyện Toán theo Chủ đề 4. Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng (Đề số 2) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Tập xác định của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{x}{2} + \cos x\) là \[D = \mathbb{R}\].

Ta có \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \int {\left( {\frac{x}{2} + \cos x} \right){\rm{d}}x = \frac{{{x^2}}}{4}} + \sin x} + C\).

\(\int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x = \int\limits_0^2 {\left( {\frac{x}{2} + \cos x} \right){\rm{d}}x} = } \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{4} + \sin x} \right)} \right|_0^2 = 1 + \sin 2\).

Hàm số \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) thì

\(F\left( 1 \right) - F\left( 0 \right) = \int\limits_0^1 {\left( {\frac{x}{2} + \cos x} \right){\rm{d}}x = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{4} + \sin x} \right)} \right|} _0^1 = \frac{1}{4} + \sin 1\).

Suy ra \(F\left( 1 \right) = \left( {\frac{1}{4} + \sin 1} \right) + F\left( 0 \right) = \frac{5}{4} + \sin 1\).

Đáp án: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Giả sử lợi nhuận biên (tính bằng triệu đồng) của một sản phẩm được mô hình hóa bằng công thức \(P'\left( x \right) = - 0,0008x + 10,4\). Ở đây \(P\left( x \right)\) là lợi nhuận (tính bằng triệu đồng) khi bán được \(x\) đơn vị sản phẩm.

a) Lợi nhuận khi bán được \(x\) đơn vị sản phẩm được tính bằng công thức

\(P\left( x \right) = - 0,0008{x^2} + 10,4x\).

b) Lợi nhuận khi bán được \(50\) sản phẩm đầu tiên là \(519\) triệu đồng.

c) Biết sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ \(50\) lên \(a\) đơn vị sản phẩm lớn hơn \(517\) triệu đồng, khi đó giá trị nhỏ nhất của \(a\) là \(100\).

d) Sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ \(50\) lên \(55\) đơn vị sản phẩm là \(49,79\) triệu đồng.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có \(P\left( x \right) = \int {P'\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = \int {\left( { - 0,0008x + 10,4} \right){\rm{d}}x = - 0,0004{x^2} + 10,4x + C} \).

Lợi nhuận ban đầu chưa có nên \(P\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0\).

Vậy \(P\left( x \right) = - 0,0004{x^2} + 10,4x\).

Ta có \(P\left( {50} \right) = - 0,0004 \cdot {50^2} + 10,4 \cdot 50 = 519\) (triệu đồng).

Vậy lợi nhuận khi bán được \(50\) sản phẩm đầu tiên là \(519\) triệu đồng.

Sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ \(50\) lên \(a\) đơn vị sản phẩm là:

\(\int\limits_{50}^a {P'\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = \int\limits_{50}^a {\left( { - 0,0008x + 10,4} \right)} \,{\rm{d}}x = \left. {\left( { - 0,0004{x^2} + 10,4x} \right)} \right|_{50}^a = - 0,0004{a^2} + 10,4a - 519\).

Theo đề ta có \( - 0,0004{a^2} + 10,4a - 519 > 517\)

\( \Leftrightarrow - 0,0004{a^2} + 10,4a - 1036 > 0 \Leftrightarrow 100 < a < 25\,900\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(a\) là \(101\).

Sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ \(50\) lên \(55\) đơn vị sản phẩm là:

\(\int\limits_{50}^{55} {P'\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = \int\limits_{50}^{55} {\left( { - 0,0008x + 10,4} \right)} \,{\rm{d}}x = \left. {\left( { - 0,0004{x^2} + 10,4x} \right)} \right|_{50}^{55} = 51,79\) (triệu đồng).

Đáp án: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.

Câu 2

Cho hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 5x - 7}}{x}\].

a) \[\int {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = \frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 7\ln x + C\].

b) Hàm số \[f\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[g\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 7}}{{{x^2}}}\].

c) \[\int\limits_{ - 2}^{ - 1} {f\left( x \right){\rm{d}}} x = \frac{m}{n} + m\ln n\], với \[m,n \in {\mathbb{N}^ * }\], \[\frac{m}{n}\] là phân số tối giản. Tổng \[m + 2025n = 4057\].

d) Gọi \[G\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right)\] thỏa mãn \[G\left( 1 \right) = 4\] và \[G\left( 3 \right) + G\left( { - 9} \right) = 20\]. Khi đó \[G\left( { - 6} \right) = a\ln 2 + b\ln 3 + c\], với \[a,b,c\] là các số hữu tỉ. Tổng \[a + b + c = \frac{2}{3}\].

Xem đáp án

Lời giải

Ta có \[\int {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = \int {\frac{{{x^2} + 5x - 7}}{x}} \,{\rm{d}}x = \int {\left( {x + 5 - \frac{7}{x}} \right)} \,{\rm{d}}x = \frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 7\ln \left| x \right| + C\].

Ta thấy \[f'\left( x \right) = 1 + \frac{7}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} + 7}}{{{x^2}}} = g\left( x \right)\]. Do đó, \[f\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[g\left( x \right)\].

Ta có \[\int\limits_{ - 2}^{ - 1} {f\left( x \right){\rm{d}}} x = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 7\ln \left| x \right|} \right)} \right|_{ - 2}^{ - 1} = \left( {\frac{1}{2} - 5} \right) - \left( {2 - 10 - 7\ln 2} \right) = \frac{7}{2} + 7\ln 2\].

Khi đó \[m = 7,\,\,n = 2\] nên \[m + 2025n = 4057\].

Ta có hàm số \[G\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right)\] thì

\[G\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 7\ln \left| x \right| + C = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 7\ln x + {C_1},\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\\\frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 7\ln \left( { - x} \right) + {C_2},\forall x \in \left( { - \infty ;0} \right).\end{array} \right.\]

Ta có \[G\left( 1 \right) = 4 \Leftrightarrow \frac{1}{2} + 5 + {C_1} = 4 \Leftrightarrow {C_1} = - \frac{3}{2}\].

\[G\left( 3 \right) + G\left( { - 9} \right) = 20 \Leftrightarrow \frac{{{3^2}}}{2} + 5 \cdot 3 - 7\ln 3 - \frac{3}{2} + \frac{{{{\left( { - 9} \right)}^2}}}{2} + 5 \cdot \left( { - 9} \right) - 7\ln 9 + {C_2} = 20\]

\[ \Leftrightarrow {C_2} = \frac{{13}}{2} + 21\ln 3\].

Khi đó \[G\left( { - 6} \right) = \frac{{{{\left( { - 6} \right)}^2}}}{2} + 5.\left( { - 6} \right) - 7\ln 6 + \frac{{13}}{2} + 21\ln 3 = - 7\ln 2 + 14\ln 3 - \frac{{11}}{2}\].

Suy ra \[a = - 7,\,\,b = 14,\,\,c = - \frac{{11}}{2}\] nên \[a + b + c = \frac{3}{2}\].

Đáp án: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.