Câu hỏi:

17/06/2025 47

PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{x}{2} + \cos x\).

a) Hàm số \(f\left( x \right)\) có tập xác định là đoạn \[\left[ { - 1\,;\,1} \right]\].

b) \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = {x^2} + \sin x} \).

c) \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x = 1 + \sin 2} \).

d) Nếu hàm số \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) và thoả mãn \(F\left( 0 \right) = 1\) thì \(F\left( 1 \right) = \frac{1}{4}\).

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Tập xác định của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{x}{2} + \cos x\) là \[D = \mathbb{R}\].

Ta có \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \int {\left( {\frac{x}{2} + \cos x} \right){\rm{d}}x = \frac{{{x^2}}}{4}}  + \sin x}  + C\).

\(\int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x = \int\limits_0^2 {\left( {\frac{x}{2} + \cos x} \right){\rm{d}}x}  = } \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{4} + \sin x} \right)} \right|_0^2 = 1 + \sin 2\).

Hàm số \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) thì

\(F\left( 1 \right) - F\left( 0 \right) = \int\limits_0^1 {\left( {\frac{x}{2} + \cos x} \right){\rm{d}}x = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{4} + \sin x} \right)} \right|} _0^1 = \frac{1}{4} + \sin 1\).

Suy ra \(F\left( 1 \right) = \left( {\frac{1}{4} + \sin 1} \right) + F\left( 0 \right) = \frac{5}{4} + \sin 1\).

Đáp án:       a) Sai,         b) Sai,         c) Đúng,      d) Sai.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Chọn hệ trục \(Oxy\) (đơn vị trên trục là centimét) với trục \(Ox\) đi qua tâm của 2 đáy hình nón cụt và gốc tọa độ \(O\) trùng với tâm của đáy lớn như hình vẽ.

Thể tích bên trong của ly bao gồm cả thể tích của nắp là bao nhiêu centimét khối? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). (ảnh 2)

Khi đó toạ độ các điểm \(A,B,C\) lần lượt là \(A\left( { - 13,4;0} \right),B\left( { - 13,4;3} \right),C\left( {0;4,5} \right)\).

Gọi phương trình đường thẳng đi qua \(BC\) có dạng \(y = ax + b\).

Ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} - 13,4a + b = 3\\0a + b = 4,5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{15}}{{134}}\\b = \frac{9}{2}\end{array} \right.\).

Phương trình đường thẳng BC là \(y = \frac{{15}}{{134}}x + \frac{9}{2}\).

Khi đó thể tích của phần thân ly trà sữa chưa bao gồm nắp là:

\({V_1} = \pi \int\limits_{ - 13,4}^0 {{{\left( {\frac{{15}}{{134}}x + \frac{9}{2}} \right)}^2}} {\rm{d}}x = \frac{{3819\pi }}{{20}}\,\,\,\,\left( 1 \right)\).

Điểm \(C,D\) thuộc đường tròn tâm \(O\left( {0;0} \right)\), bán kính \(R = 4,5\) có phương trình: \({x^2} + {y^2} = \frac{{81}}{4}\).

Thay \(y = 1\), ta được: \(x = \sqrt {\frac{{81}}{4} - 1}  = \frac{{\sqrt {77} }}{2} \Rightarrow D\left( {\frac{{\sqrt {77} }}{2};1} \right)\). Suy ra \(y = \sqrt {\frac{{81}}{4} - {x^2}} \).

Khi đó thể tích nắp của ly trà sữa là: \[{V_2} = \pi \int\limits_0^{\frac{{\sqrt {77} }}{2}} {{{\left( {\sqrt {\frac{{81}}{4} - {x^2}} } \right)}^2}} {\rm{d}}x = \,\,\frac{{83\pi \sqrt {77} }}{{12}}\,\,\,\,\left( 2 \right)\].

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta suy ra thể tích bên trong của ly bao gồm cả thể tích của nắp là:

\(V = {V_1} + {V_2} = \frac{{3819\pi }}{{20}} + \frac{{83\pi \sqrt {77} }}{{12}} \approx 791\,\,{\rm{(c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}{\rm{)}}\).

Đáp án: \(791\).

Câu 2

Lời giải

Ta có \[S = \int\limits_{ - 3}^1 {\left[ {\left( { - x + 1} \right) - \left( {{x^2} + x - 2} \right)} \right]{\rm{d}}x}  = \int\limits_{ - 3}^1 {\left( { - {x^2} - 2x + 3} \right){\rm{d}}x} \]. Chọn D.