PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{x}{2} + \cos x\).

a) Hàm số \(f\left( x \right)\) có tập xác định là đoạn \[\left[ { - 1\,;\,1} \right]\].

b) \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = {x^2} + \sin x} \).

c) \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x = 1 + \sin 2} \).

d) Nếu hàm số \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) và thoả mãn \(F\left( 0 \right) = 1\) thì \(F\left( 1 \right) = \frac{1}{4}\).

Chọn hệ trục \(Oxy\) (đơn vị trên trục là centimét) với trục \(Ox\) đi qua tâm của 2 đáy hình nón cụt và gốc tọa độ \(O\) trùng với tâm của đáy lớn như hình vẽ.

Khi đó toạ độ các điểm \(A,B,C\) lần lượt là \(A\left( { - 13,4;0} \right),B\left( { - 13,4;3} \right),C\left( {0;4,5} \right)\).

Gọi phương trình đường thẳng đi qua \(BC\) có dạng \(y = ax + b\).

Ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} - 13,4a + b = 3\\0a + b = 4,5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{15}}{{134}}\\b = \frac{9}{2}\end{array} \right.\).

Phương trình đường thẳng BC là \(y = \frac{{15}}{{134}}x + \frac{9}{2}\).

Khi đó thể tích của phần thân ly trà sữa chưa bao gồm nắp là:

\({V_1} = \pi \int\limits_{ - 13,4}^0 {{{\left( {\frac{{15}}{{134}}x + \frac{9}{2}} \right)}^2}} {\rm{d}}x = \frac{{3819\pi }}{{20}}\,\,\,\,\left( 1 \right)\).

Điểm \(C,D\) thuộc đường tròn tâm \(O\left( {0;0} \right)\), bán kính \(R = 4,5\) có phương trình: \({x^2} + {y^2} = \frac{{81}}{4}\).

Thay \(y = 1\), ta được: \(x = \sqrt {\frac{{81}}{4} - 1}  = \frac{{\sqrt {77} }}{2} \Rightarrow D\left( {\frac{{\sqrt {77} }}{2};1} \right)\). Suy ra \(y = \sqrt {\frac{{81}}{4} - {x^2}} \).

Khi đó thể tích nắp của ly trà sữa là: \[{V_2} = \pi \int\limits_0^{\frac{{\sqrt {77} }}{2}} {{{\left( {\sqrt {\frac{{81}}{4} - {x^2}} } \right)}^2}} {\rm{d}}x = \,\,\frac{{83\pi \sqrt {77} }}{{12}}\,\,\,\,\left( 2 \right)\].

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta suy ra thể tích bên trong của ly bao gồm cả thể tích của nắp là:

\(V = {V_1} + {V_2} = \frac{{3819\pi }}{{20}} + \frac{{83\pi \sqrt {77} }}{{12}} \approx 791\,\,{\rm{(c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}{\rm{)}}\).

Đáp án: \(791\).

Gọi \(h\left( t \right)\) là độ cao (tính bằng mét) của viên đạn tại thời điểm \(t\) (tính bằng giây).

Ta có: \(h\left( t \right) = \int {v\left( t \right){\rm{d}}t = \int {\left( {100 - 9,8t} \right){\rm{d}}t =  - 4,9{t^2} + 100t + C} } \).

Tại thời điểm \(t = 0\), ta có \(h\left( t \right) = 2 \Rightarrow C = 2\). Vậy \(h\left( t \right) =  - 4,9{t^2} + 100t + 2\).

Ta có \(h'\left( t \right) =  - 9,8t + 100;\) \(h'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{500}}{{49}}\).

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra viên đạn đạt độ cao lớn nhất tại thời điểm \(t = \frac{{500}}{{49}}\).

Do đó độ cao của viên đạn so với mặt đất ở thời điểm 1 giây sau khi viên đạn đạt độ cao lớn nhất là \(h\left( {\frac{{500}}{{49}} + 1} \right) \approx 507,3\,\,{\rm{m}} \approx 0,51\,\,{\rm{km}}\).

Đáp án: \(0,51\).