Cho hàm số \(f\left( x \right) = 1 + \frac{1}{x}\) có đồ thị \(\left( C \right)\) và hàm số \(g\left( x \right) = - \frac{1}{4}x + \frac{9}{4}\) có đồ thị \(\left( d \right)\) (xem hình bên).

a) \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = x - \ln \left| x \right| + C} \) với \(C\) là hằng số.

b) Nếu \(f\left( x \right)\) có một nguyên hàm là hàm số \(F\left( x \right)\) và \(F\left( 1 \right) = 0\) thì \(F\left( 2 \right) = 1 + \ln 2\).

c) Hình phẳng \({H_1}\) (phần gạch chéo) giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\), đồ thị \(\left( d \right)\) và các đường \(x = 1,x = 4\) có diện tích là \({S_1} = \frac{{15}}{8} - \ln 4\).

d) Nếu \({S_1},{S_2}\) lần lượt là diện tích hình phẳng \({H_1}\) (phần gạch chéo) và \({H_2}\) (hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\), trục hoành và các đường \(x = 1,x = 4\)) thì \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{5}{8}\).

Chọn hệ trục \(Oxy\) (đơn vị trên trục là centimét) với trục \(Ox\) đi qua tâm của 2 đáy hình nón cụt và gốc tọa độ \(O\) trùng với tâm của đáy lớn như hình vẽ.

Khi đó toạ độ các điểm \(A,B,C\) lần lượt là \(A\left( { - 13,4;0} \right),B\left( { - 13,4;3} \right),C\left( {0;4,5} \right)\).

Gọi phương trình đường thẳng đi qua \(BC\) có dạng \(y = ax + b\).

Ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} - 13,4a + b = 3\\0a + b = 4,5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{15}}{{134}}\\b = \frac{9}{2}\end{array} \right.\).

Phương trình đường thẳng BC là \(y = \frac{{15}}{{134}}x + \frac{9}{2}\).

Khi đó thể tích của phần thân ly trà sữa chưa bao gồm nắp là:

\({V_1} = \pi \int\limits_{ - 13,4}^0 {{{\left( {\frac{{15}}{{134}}x + \frac{9}{2}} \right)}^2}} {\rm{d}}x = \frac{{3819\pi }}{{20}}\,\,\,\,\left( 1 \right)\).

Điểm \(C,D\) thuộc đường tròn tâm \(O\left( {0;0} \right)\), bán kính \(R = 4,5\) có phương trình: \({x^2} + {y^2} = \frac{{81}}{4}\).

Thay \(y = 1\), ta được: \(x = \sqrt {\frac{{81}}{4} - 1}  = \frac{{\sqrt {77} }}{2} \Rightarrow D\left( {\frac{{\sqrt {77} }}{2};1} \right)\). Suy ra \(y = \sqrt {\frac{{81}}{4} - {x^2}} \).

Khi đó thể tích nắp của ly trà sữa là: \[{V_2} = \pi \int\limits_0^{\frac{{\sqrt {77} }}{2}} {{{\left( {\sqrt {\frac{{81}}{4} - {x^2}} } \right)}^2}} {\rm{d}}x = \,\,\frac{{83\pi \sqrt {77} }}{{12}}\,\,\,\,\left( 2 \right)\].

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta suy ra thể tích bên trong của ly bao gồm cả thể tích của nắp là:

\(V = {V_1} + {V_2} = \frac{{3819\pi }}{{20}} + \frac{{83\pi \sqrt {77} }}{{12}} \approx 791\,\,{\rm{(c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}{\rm{)}}\).

Đáp án: \(791\).

Chọn hệ trục \[Oxy\] với tia \[Ox\] trùng với tia \[OB\], tia \[Oy\] trùng với tia \[OS\] như hình vẽ.

Khi đó ta có: \[A\left( { - 3;0} \right)\], \[B\left( {3;0} \right)\], \[S\left( {0;8} \right)\].

Suy ra parabol có phương trình là:

 \[y =  - \frac{8}{9}{x^2} + 8\] \[\left( P \right)\].

Rìa của hình quạt là cung tròn của đường tròn \[\left( C \right)\] có phương trình: \[{x^2} + {y^2} = 9 \Leftrightarrow y =  \pm \sqrt {9 - {x^2}} \].