Nhà bác Ba có tất cả \(8\) cánh cửa sắt hình chữ nhật với chiều dài \(2\,{\rm{m}}\) và chiều rộng \(1\,{\rm{m}}\). Hai mặt của mỗi cánh cửa được thiết kế như hình vẽ bên. Trong đó, phần được tô đậm được sơn màu xanh, phần còn lại được sơn màu trắng. Mỗi phần sơn màu trắng có đường biên cong là một phần của parabol có đỉnh nằm trên cạnh của hình chữ nhật. Biết rằng chi phí để sơn màu xanh là \(120\) nghìn đồng\({\rm{/}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\) và chi phí sơn màu trắng là \(110\) nghìn đồng\({\rm{/}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\). Hỏi để sơn toàn bộ số cửa sắt trên, bác Ba phải tốn bao nhiêu triệu đồng (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm theo đơn vị triệu đồng).

Chọn hệ trục \(Oxy\) (đơn vị trên trục là centimét) với trục \(Ox\) đi qua tâm của 2 đáy hình nón cụt và gốc tọa độ \(O\) trùng với tâm của đáy lớn như hình vẽ.

Khi đó toạ độ các điểm \(A,B,C\) lần lượt là \(A\left( { - 13,4;0} \right),B\left( { - 13,4;3} \right),C\left( {0;4,5} \right)\).

Gọi phương trình đường thẳng đi qua \(BC\) có dạng \(y = ax + b\).

Ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} - 13,4a + b = 3\\0a + b = 4,5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{15}}{{134}}\\b = \frac{9}{2}\end{array} \right.\).

Phương trình đường thẳng BC là \(y = \frac{{15}}{{134}}x + \frac{9}{2}\).

Khi đó thể tích của phần thân ly trà sữa chưa bao gồm nắp là:

\({V_1} = \pi \int\limits_{ - 13,4}^0 {{{\left( {\frac{{15}}{{134}}x + \frac{9}{2}} \right)}^2}} {\rm{d}}x = \frac{{3819\pi }}{{20}}\,\,\,\,\left( 1 \right)\).

Điểm \(C,D\) thuộc đường tròn tâm \(O\left( {0;0} \right)\), bán kính \(R = 4,5\) có phương trình: \({x^2} + {y^2} = \frac{{81}}{4}\).

Thay \(y = 1\), ta được: \(x = \sqrt {\frac{{81}}{4} - 1}  = \frac{{\sqrt {77} }}{2} \Rightarrow D\left( {\frac{{\sqrt {77} }}{2};1} \right)\). Suy ra \(y = \sqrt {\frac{{81}}{4} - {x^2}} \).

Khi đó thể tích nắp của ly trà sữa là: \[{V_2} = \pi \int\limits_0^{\frac{{\sqrt {77} }}{2}} {{{\left( {\sqrt {\frac{{81}}{4} - {x^2}} } \right)}^2}} {\rm{d}}x = \,\,\frac{{83\pi \sqrt {77} }}{{12}}\,\,\,\,\left( 2 \right)\].

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta suy ra thể tích bên trong của ly bao gồm cả thể tích của nắp là:

\(V = {V_1} + {V_2} = \frac{{3819\pi }}{{20}} + \frac{{83\pi \sqrt {77} }}{{12}} \approx 791\,\,{\rm{(c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}{\rm{)}}\).

Đáp án: \(791\).

Ta có \[S = \int\limits_{ - 3}^1 {\left[ {\left( { - x + 1} \right) - \left( {{x^2} + x - 2} \right)} \right]{\rm{d}}x}  = \int\limits_{ - 3}^1 {\left( { - {x^2} - 2x + 3} \right){\rm{d}}x} \]. Chọn D.