Câu hỏi:

17/06/2025 35

Ông An xây một bể bơi, ban đầu có dạng là hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\). Sau đó ông làm lại mặt đáy như hình vẽ.

Biết rằng \(A'B'MN\) và \(MNEF\) là các hình chữ nhật, \(\left( {MNEF} \right){\rm{//}}\left( {A'B'C'D'} \right)\), \(AB = 20\,{\rm{m}}\), \(AD = 50\,{\rm{m}}\), \(AA' = 1,8\,{\rm{m}}\), \(MF = 30\,{\rm{m}}\), \(DE = 1,5\,{\rm{m}}\).

a) Cạnh BC của thành bể vuông góc với đường thẳng chứa MN của đáy bể.

b) Góc giữa thành bể \[ABB'A'\] và mặt phẳng chứa phần đáy \[\left( {MNA'B'} \right)\] gần bằng \(65^\circ 45'\).

c) Khoảng cách từ điểm B của góc bể đến mặt phẳng chứa phần đáy \[\left( {MNA'B'} \right)\] xấp xỉ bằng \(1,6599\,\,{\rm{m}}\).

d) Ông An bơm nước vào bể để phục vụ cho việc kinh doanh, đến khi mặt nước cách mép trên của thành bể \(0,2\,{\rm{m}}\) thì ông dừng lại, và giá tiền nước là 15 000 đồng/m³. Khi đó số tiền nước mà ông An phải trả là 20 400 000 đồng.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề ôn luyện Toán theo Chủ đề 5. Hình học không gian (Đề số 2) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cạnh BC của thành bể vuông góc với đường thẳng chứa MN của đáy bể. (ảnh 2)

Ta có \(MN\,{\rm{//}}\,A'B'\) (do \(A'B'MN\) là hình chữ nhật).

Lại có \(A'B' \bot \left( {BCC'B'} \right)\), suy ra \(MN \bot \left( {BCC'B'} \right)\,\, \Rightarrow \,\,MN \bot BC\).

Ta có \[\left( {ABB'A'} \right) \cap \left( {MNA'B'} \right) = A'B'\], \[BB' \bot A'B',\,B'M \bot A'B'\].

Do đó, góc giữa thành bể \[ABB'A'\] và mặt phẳng chứa phần đáy \[\left( {MNA'B'} \right)\] là \(\widehat {BB'M}\).

Kẻ \(MK \bot B'C'\) tại K. Ta có \(MK = FC' = 1,8 - 1,5 = 0,3\,\,({\rm{m)}}\); \(B'K = 50 - 30 = 20\,\,({\rm{m)}}\).

Do đó, \(\tan \widehat {MB'K} = \frac{{MK}}{{B'K}} = \frac{{0,3}}{{20}} = \frac{3}{{200}}\).

Suy ra \(\widehat {MB'K} \approx 0^\circ 52'\,\, \Rightarrow \,\,\widehat {BB'M} \approx 90^\circ - 0^\circ 52' = 89^\circ 8'\).

Kẻ \(BH \bot B'M\) tại H. Khi đó BH là khoảng cách từ B đến mặt phẳng \[\left( {MNA'B'} \right)\].

Ta có \(BH = BB' \cdot \sin \widehat {BB'H} = 1,8 \cdot \sin 89^\circ 8' \approx 1,79979\,\,{\rm{(m)}}\).

Thể tích của bể ban đầu khi chưa làm phần đáy là \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = 20 \cdot 50 \cdot 1,8 = 1800\,\,({{\rm{m}}^{\rm{3}}})\).

Thể tích của phần đáy khi làm lại là \({V_{MFC'B'.NED'A'}} = \left( {30 + 50} \right) \cdot \frac{{0,3}}{2} \cdot 20 = 240\,\,{\rm{(}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}})\).

Nếu bơm nước đến khi mặt nước cách mép trên của thành bể \(0,2\,{\rm{m}}\) dừng lại thì thể tích phần không có nước phía trên là \({V_0} = 20 \cdot 50 \cdot 0,2 = 200\,\,({{\rm{m}}^{\rm{3}}})\).

Thể tích nước là \(V = 1800 - 240 - 200 = 1\,360\,\,{\rm{(}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}{\rm{)}}\).

Số tiền nước ông An phải trả là \(1\,360 \cdot 15\,000 = 20\,400\,000\,\)(đồng).

Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy là hình thang, \[AB = 2\], \[AD = DC = CB = 1\], \[SA\] vuông góc với mặt phẳng đáy và \[SA = 3\]. Gọi \[M\] là trung điểm của \[AB\]. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \[SB\] và \[DM\] (viết kết quả dưới dạng số thập phân).

Xem đáp án

Lời giải

V (ảnh 1)

Ta có \[M\] là trung điểm của \[AB\].

Theo giả thiết suy ra \[ABCD\] là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính \[AB\]\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\widehat {ACB} = 90^\circ ;\widehat {ABC} = 60^\circ \\AC = \sqrt 3 \end{array} \right.\].

Vì \[DM{\rm{//}}BC \Rightarrow DM{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\].

Do đó \[d\left( {DM,SB} \right) = d\left( {DM,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {M,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)\] (vì \[MB = \frac{1}{2}AB\]).

Kẻ \[AH \bot SC\] tại \[H\]. Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AC\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAC} \right)\]\[ \Rightarrow AH \bot BC\].

Khi đó \[\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SC\\AH \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH\].

Xét tam giác \[SAC\] vuông tại \[A\], ta có \[A{H^2} = \frac{{A{C^2} \cdot S{A^2}}}{{A{C^2} + S{A^2}}} = \frac{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} \cdot {3^2}}}{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {3^2}}} = \frac{9}{4}\]\[ \Rightarrow AH = \frac{3}{2}\].

Vậy \[d\left( {DM,SB} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{1}{2}AH = \frac{3}{4} = 0,75\].

Câu 2

Người ta xây dựng một chân tháp bằng bê tông có dạng khối chóp cụt tứ giác đều như hình vẽ. Cạnh đáy dưới dài \(5{\rm{\;m}}\), cạnh đáy trên dài \(2{\rm{\;m}}\), cạnh bên dài \(3{\rm{\;m}}\). Biết rằng chân tháp được làm bằng bê tông tươi với giá tiền là 1 470 000 đồng\(/{{\rm{m}}^3}\). Số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp hết bao nhiêu triệu đồng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Xem đáp án

Lời giải

Minh họa khối chân tháp và đặt tên các điểm như hình dưới đây.

Số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp hết bao nhiêu triệu đồng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)? (ảnh 2)

Theo bài ra, ta có \(AB = 5,A'B' = 2,CC' = 3\).

Có \(ABCD\) là hình vuông \( \Rightarrow CO = \frac{1}{2}AC = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\).

Có \(A'B'C'D'\) là hình vuông \( \Rightarrow C'O' = \frac{1}{2}A'C' = \frac{{2\sqrt 2 }}{2} = \sqrt 2 \).

Kẻ \(C'H \bot OC\) tại \(H\). Suy ra \(OHC'O'\) là hình chữ nhật.

\( \Rightarrow OH = O'C' = \sqrt 2 ,\,\,CH = OC - OH = \frac{{5\sqrt 2 }}{2} - \sqrt 2 = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\).

\( \Rightarrow OO' = C'H = \sqrt {C{{C'}^2} - C{H^2}} = \sqrt {{3^2} - {{\left( {\frac{{3\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\).

Diện tích đáy lớn là \(S = A{B^2} = {5^2} = 25\,\,{\rm{(}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}\).

Diện tích đáy bé là \(S' = A'{B'^2} = {2^2} = 4\,\,{\rm{(}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}\).

Thể tích khối chóp cụt là: \(V = \frac{1}{3}h\left( {S + \sqrt {SS'} + S'} \right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\left( {25 + \sqrt {25 \cdot 4} + 4} \right) = \frac{{39\sqrt 2 }}{2}\,\,{\rm{(}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}{\rm{)}}\).

Số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp là:

\(\frac{{39\sqrt 2 }}{2} \cdot 1\,470\,000 \approx 40\,538\,432{\rm{\;}}\)(đồng) \( \approx 41\,\)(triệu đồng).

Đáp án: \[41\].

Câu 3