Giải hệ phương tình: \(\left\{ \begin{array}{l}{y^2} = {x^3} - 3{x^2} + 2x\\{x^2} = {y^3} - 3{y^2} + 2y\end{array} \right.\)

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải:

\(\left\{ \begin{array}{l}{y^2} = {x^3} - 3{x^2} + 2x\,\,\,\,(1)\\{x^2} = {y^3} - 3{y^2} + 2y\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\)

Lấy (1) – (2) ta được:

\[\begin{array}{l}{y^2} - {x^2} = {x^3} - {y^3} - 3\left( {{x^2} - {y^2}} \right) + 2\left( {x - y} \right)\\ \Leftrightarrow {x^3} - {y^3} - 2\left( {{x^2} - {y^2}} \right) + 2\left( {x - y} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + xy - 2x - 2y + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {2{x^2} + 2{y^2} + 2xy - 4x - 4y + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left[ {\left( {{x^2} + {y^2} + 2xy - 4\left( {x + y} \right) + 4 + {x^2} + {y^2}} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left[ {{{\left( {x + y - 2} \right)}^2} + {x^2} + {y^2}} \right] = 0\end{array}\]

TH1: \(x - y = 0 \Leftrightarrow x = y\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {x^2} = {x^3} - 3{x^2} + 2x\\{x^3} - 4{x^2} + 2x = 0\\x\left( {{x^2} - 4x + 2} \right) = 0\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2 \pm \sqrt 2 \end{array} \right.\end{array}\)

TH2: \[{x^2} + {y^2} + xy - 2x - 2y + 2\] = 0, phương trình vô nghiệm

Vậy \(\left( {x;y} \right) = \left( {0;0} \right);\left( {2 - \sqrt 2 ;2 - \sqrt 2 } \right);\left( {2 + \sqrt 2 ;2 + \sqrt 2 } \right)\)

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Diện tích một trang của một cuốn sách là 600 cm². Do yêu cầu kĩ thuật, cần để lề trên và lề dưới là 3 cm, lề tráo và lề phải là 2 cm. Tính chiều dài của trang giấy để diện tích phần chữ in vào cuốn sách được nhiều nhất?

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

Gọi chiều dài và chiều rộng của trang sách là x và y (cm). Ta có diện tích trang sách là xy = 600.

Do có lề trên và lề dưới là 3 cm, lề trái và lề phải là 2 cm, diện tích phần chữ in là (x ‒ 4)(y ‒ 6)

Từ xy = 600, ta có \[y = \frac{{600}}{x}.\] Thay vào diện tích phần chữ in, ta được:

\[S\left( x \right) = \left( {x - 4} \right)\left( {\frac{{600}}{x} - 6} \right) = 600 - 6x - \frac{{2400}}{x} + 24 = - 6x - \frac{{2400}}{x} + 624\]

Để diện tích phần chữ in lớn nhất, ta tìm đạo hàm của S(x) và cho bằng 0

\[S'\left( x \right) = - 6 + \frac{{2400}}{{{x^2}}} = 0\]

x² = 400

Suy ra x = 20 (vì x > 0)

Thay x = 20 và \[y = \frac{{600}}{x}\] ta được y = 30 cm.

Chiều dài trang giấy là x = 20 cm.

Câu 2

Rút gọn biểu thức sau \[A = \frac{{\sin 3x - \sin x}}{{2{{\cos }^2}x - 1}}\]

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

Áp dụng công thức sin a – sin b = \[2cos\frac{{a + b}}{2}\sin \frac{{a - b}}{2}\]

Nên sin3x – sinx = \[2\cos \frac{{3x + x}}{2}\sin \frac{{3x - x}}{2}\]

= 2cos2x. sin x

Mà cos2x =\[2{\cos ^2}x - 1\]

Suy ra \[A = \frac{{\sin 3x - \sin x}}{{2{{\cos }^2}x - 1}}\]

\[ = \frac{{2cos2x.{\rm{ }}sin{\rm{ }}x}}{{\cos 2x}}\]= 2sinx

Câu 3