Cho hai số nguyên x, y với x > 1 thỏa mãn 2x2 – 1 = y15 . Chứng minh x chia hết cho 15

Lời giải: Ta có: 2x2 – 1 = y15 2x2 = (y5 + 1) (y10 – y5 + 1) Giả sử (y5 + 1, y10 – y5 + 1) = d, d ( in mathbb{N} )* Suy ra y5 [ equiv ] -1 (mod d) và y10 – y5 + 1 [ equiv ] 1 +1 +1 (mod d) Mà y10 – y5 + 1 [ vdots ] d suy ra 3 [ vdots ] d suy ra d = 1 hoặc d = 3 Nếu d = 3 thì 2x2 [ vdots ] 3 suy ra x [ vdots ] 3 Nếu d = 1, do 2x2 = (y5 + 1)( y10 – y5 + 1) nên có hai trường hợp. Trường hợp 1: y5 + 1 = 2a2 và y10 – y5 + 1 = b2 (với a, b [ ge ] 1) y5 = 2a2 – 1 (2a2 – 1)2 – (2a2 – 1) + 1 = b2 4a4 – 6a2 + 3 = b2 16a4 – 24a2 + 12 = 4b2 (4a2 – 3) + 3= 4b2 (2b - 4a2 + 3) (2b + 4a2 – 3) = 3 Suy ra 2b - 4a2 + 3 = 1 và 2b + 4a2 – 3 = 3 (do 2b + 4a2 – 3 > 2b - 4a2 + 3 > 0) Suy ra a = b = 1, do đó x = y = 1 (không thỏa mãn vì x > 1) Trường hợp 2: y5 + 1 = a2 và y10 – y5 + 1 = 2b2 (với a, b [ ge ] 1) y5 = a2 – 1 (a2 – 1)2 – (a2 – 1) + 1 = 2b2 a [ vdots ] 3 suy ra y5 + 1 [ vdots ] 3 suy ra x [ vdots ] 3. 2x2 – 1 = y15 2x2 = y15 + 1 2x2 = (y3 + 1) (y12 – y9 + y6 – y3 + 1) Giả sử (y3 + 1, y12 – y9 + y6 – y3 + 1) = d, d ( in mathbb{N} )*. Lập luận tương tự ta được d = 1 hoặc d = 5 Với d = 5 suy ra x [ vdots ] 5 Với d = 1 lập luận tương tự ta được x [ vdots ] 5 Vì x chia hết cho 3 a và 5 mà (3, 5) = 1 nên x chia hết cho 15.

Câu hỏi:

18/06/2025 8

Cho hai số nguyên x, y với x > 1 thỏa mãn 2x²– 1 = y¹⁵ . Chứng minh x chia hết cho 15

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải:

Ta có: 2x²– 1 = y¹⁵

2x²= (y⁵+ 1) (y¹⁰ – y⁵ + 1)

Giả sử (y5 + 1, y10 – y5 + 1) = d, d \( \in \mathbb{N}\)^*

Suy ra y⁵ \[ \equiv \] -1 (mod d) và y¹⁰ – y⁵ + 1 \[ \equiv \] 1 +1 +1 (mod d)

Mà y¹⁰ – y⁵ + 1 \[ \vdots \] d suy ra 3 \[ \vdots \] d suy ra d = 1 hoặc d = 3

Nếu d = 3 thì 2x²\[ \vdots \] 3 suy ra x \[ \vdots \] 3

Nếu d = 1, do 2x² = (y⁵ + 1)( y¹⁰ – y⁵ + 1) nên có hai trường hợp.

Trường hợp 1: y⁵ + 1 = 2a² và y¹⁰ – y⁵ + 1 = b² (với a, b \[ \ge \] 1)

y⁵= 2a² – 1

(2a² – 1)² – (2a² – 1) + 1 = b²

4a⁴ – 6a² + 3 = b²

16a⁴ – 24a² + 12 = 4b²

(4a² – 3) + 3= 4b²

(2b - 4a² + 3) (2b + 4a² – 3) = 3

Suy ra 2b - 4a² + 3 = 1 và 2b + 4a² – 3 = 3

(do 2b + 4a² – 3 > 2b - 4a² + 3 > 0)

Suy ra a = b = 1, do đó x = y = 1 (không thỏa mãn vì x > 1)

Trường hợp 2: y⁵ + 1 = a² và y¹⁰ – y⁵ + 1 = 2b² (với a, b \[ \ge \] 1)

y⁵= a² – 1

(a² – 1)² – (a² – 1) + 1 = 2b²

a \[ \vdots \] 3 suy ra y⁵+ 1 \[ \vdots \] 3 suy ra x \[ \vdots \] 3.

2x² – 1 = y¹⁵

2x² = y¹⁵ + 1

2x² = (y³ + 1) (y¹² – y⁹ + y⁶ – y³ + 1)

Giả sử (y³ + 1, y¹² – y⁹ + y⁶ – y³ + 1) = d, d \( \in \mathbb{N}\)^*. Lập luận tương tự ta được d = 1 hoặc d = 5

Với d = 5 suy ra x \[ \vdots \] 5

Với d = 1 lập luận tương tự ta được x \[ \vdots \] 5

Vì x chia hết cho 3 a và 5 mà (3, 5) = 1 nên x chia hết cho 15.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Diện tích một trang của một cuốn sách là 600 cm². Do yêu cầu kĩ thuật, cần để lề trên và lề dưới là 3 cm, lề tráo và lề phải là 2 cm. Tính chiều dài của trang giấy để diện tích phần chữ in vào cuốn sách được nhiều nhất?

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

Gọi chiều dài và chiều rộng của trang sách là x và y (cm). Ta có diện tích trang sách là xy = 600.

Do có lề trên và lề dưới là 3 cm, lề trái và lề phải là 2 cm, diện tích phần chữ in là (x ‒ 4)(y ‒ 6)

Từ xy = 600, ta có \[y = \frac{{600}}{x}.\] Thay vào diện tích phần chữ in, ta được:

\[S\left( x \right) = \left( {x - 4} \right)\left( {\frac{{600}}{x} - 6} \right) = 600 - 6x - \frac{{2400}}{x} + 24 = - 6x - \frac{{2400}}{x} + 624\]

Để diện tích phần chữ in lớn nhất, ta tìm đạo hàm của S(x) và cho bằng 0

\[S'\left( x \right) = - 6 + \frac{{2400}}{{{x^2}}} = 0\]

x² = 400

Suy ra x = 20 (vì x > 0)

Thay x = 20 và \[y = \frac{{600}}{x}\] ta được y = 30 cm.

Chiều dài trang giấy là x = 20 cm.

Câu 2

Rút gọn biểu thức sau \[A = \frac{{\sin 3x - \sin x}}{{2{{\cos }^2}x - 1}}\]

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

Áp dụng công thức sin a – sin b = \[2cos\frac{{a + b}}{2}\sin \frac{{a - b}}{2}\]

Nên sin3x – sinx = \[2\cos \frac{{3x + x}}{2}\sin \frac{{3x - x}}{2}\]

= 2cos2x. sin x

Mà cos2x =\[2{\cos ^2}x - 1\]

Suy ra \[A = \frac{{\sin 3x - \sin x}}{{2{{\cos }^2}x - 1}}\]

\[ = \frac{{2cos2x.{\rm{ }}sin{\rm{ }}x}}{{\cos 2x}}\]= 2sinx

Câu 3