Cho hai số nguyên x, y với x > 1 thỏa mãn 2x² – 1 = y¹⁵ . Chứng minh x chia hết cho 15

Lời giải:

Ta có: 2x² – 1 = y¹⁵

2x² = (y⁵ + 1) (y¹⁰ – y⁵ + 1)

Giả sử (y5 + 1, y10 – y5 + 1) = d, d \( \in \mathbb{N}\)^*

Suy ra y⁵ \[ \equiv \] -1 (mod d) và y¹⁰ – y⁵ + 1 \[ \equiv \] 1 +1 +1 (mod d)

Mà y¹⁰ – y⁵ + 1 \[ \vdots \] d suy ra 3 \[ \vdots \] d suy ra d = 1 hoặc d = 3

Nếu d = 3 thì 2x² \[ \vdots \] 3 suy ra x \[ \vdots \] 3

Nếu d = 1, do 2x² = (y⁵ + 1)( y¹⁰ – y⁵ + 1) nên có hai trường hợp.

Trường hợp 1: y⁵ + 1 = 2a² và y¹⁰ – y⁵ + 1 = b² (với a, b \[ \ge \] 1)

y⁵ = 2a² – 1

(2a² – 1)² – (2a² – 1) + 1 = b²

4a⁴ – 6a² + 3 = b²

16a⁴ – 24a² + 12 = 4b²

(4a² – 3) + 3= 4b²

(2b - 4a² + 3) (2b + 4a² – 3) = 3

Suy ra 2b - 4a² + 3 = 1 và 2b + 4a² – 3 = 3

(do 2b + 4a² – 3 > 2b - 4a² + 3 > 0)

Suy ra a = b = 1, do đó x = y = 1 (không thỏa mãn vì x > 1)

Trường hợp 2: y⁵ + 1 = a² và y¹⁰ – y⁵ + 1 = 2b² (với a, b \[ \ge \] 1)

y⁵ = a² – 1

(a² – 1)² – (a² – 1) + 1 = 2b²

a \[ \vdots \] 3 suy ra y⁵ + 1 \[ \vdots \] 3 suy ra x \[ \vdots \] 3.

2x² – 1 = y¹⁵

2x² = y¹⁵ + 1

2x² = (y³ + 1) (y¹² – y⁹ + y⁶ – y³ + 1)

Giả sử (y³ + 1, y¹² – y⁹ + y⁶ – y³ + 1) = d, d \( \in \mathbb{N}\)^*. Lập luận tương tự ta được d = 1 hoặc d = 5

Với d = 5 suy ra x \[ \vdots \] 5

Với d = 1 lập luận tương tự ta được x \[ \vdots \] 5

Vì x chia hết cho 3 a và 5 mà (3, 5) = 1 nên x chia hết cho 15.