Câu hỏi:

18/06/2025 7

Cho hàm số f(x) = 2x³ + ax² + bx + c có f(0) = 2f'(0) và f(x) ≥ 2f'(x) với mọi x ≥ ‒1. Có bao nhiêu giá tị nguyên của a để hàm số f(x) đồng biến trên ℝ?

A. Vô số.

B. 11.

C. 1.

D. 10.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có f(x) = 2x³ + ax² + bx + c

Suy ra f'(x) = 6x² + 2ax + b

f(0) = 2f'(0), do đó c = 2b

f(x) ≥ 2f'(x) với mọi x ≥ ‒1 nên

2x³ + ax² + bx + c ≥ 2(6x² + 2ax + b) với mọi x ≥ ‒1

2x³ + (a ‒ 12)x² + (b ‒ 4a)x ≥ 0 với mọi x ≥ ‒1

x[2x² + (a ‒ 12)x + b ‒ 4a) ≥ 0 với mọi x ≥ ‒1

Suy ra 2x² + (a ‒12)x + b ‒ 4a = 0 có một nghiệm x = 0

Suy ra b ‒ 4a = 0 hay b = 4a

Khi đó:

x[2x² + (a ‒ 12)x + b ‒ 4a) ≥ 0 với mọi x ≥ ‒1

x²(2x + a ‒ 12) ≥ 0 với mọi x ≥ ‒1

2x + a ‒ 12 ≥ 0 với mọi x ≥ ‒1

a ≥ 12 ‒ 2x với mọi x ≥ ‒1

a ≥ max(12 ‒ 2x) với mọi x ≥ ‒1

a ≥ 14

Để hàm số f(x) đồng biến trên ℝ thì f'(x) = 6x² + 2ax + b ≥ 0 với mọi x.

Suy ra ∆' ≤ 0

a² ‒ 6b ≤ 0

a² ‒ 24a ≤ 0

0 ≤ a ≤ 24.

Kết hợp a ≥ 14, suy ra 14 ≤ a ≤ 24.

Suy ra a ∈ {14; 15;...; 24}.

Vậy có tất cả 11 giá trị nguyên của a thỏa mãn.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Diện tích một trang của một cuốn sách là 600 cm². Do yêu cầu kĩ thuật, cần để lề trên và lề dưới là 3 cm, lề tráo và lề phải là 2 cm. Tính chiều dài của trang giấy để diện tích phần chữ in vào cuốn sách được nhiều nhất?

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

Gọi chiều dài và chiều rộng của trang sách là x và y (cm). Ta có diện tích trang sách là xy = 600.

Do có lề trên và lề dưới là 3 cm, lề trái và lề phải là 2 cm, diện tích phần chữ in là (x ‒ 4)(y ‒ 6)

Từ xy = 600, ta có \[y = \frac{{600}}{x}.\] Thay vào diện tích phần chữ in, ta được:

\[S\left( x \right) = \left( {x - 4} \right)\left( {\frac{{600}}{x} - 6} \right) = 600 - 6x - \frac{{2400}}{x} + 24 = - 6x - \frac{{2400}}{x} + 624\]

Để diện tích phần chữ in lớn nhất, ta tìm đạo hàm của S(x) và cho bằng 0

\[S'\left( x \right) = - 6 + \frac{{2400}}{{{x^2}}} = 0\]

x² = 400

Suy ra x = 20 (vì x > 0)

Thay x = 20 và \[y = \frac{{600}}{x}\] ta được y = 30 cm.

Chiều dài trang giấy là x = 20 cm.

Câu 2

Rút gọn biểu thức sau \[A = \frac{{\sin 3x - \sin x}}{{2{{\cos }^2}x - 1}}\]

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

Áp dụng công thức sin a – sin b = \[2cos\frac{{a + b}}{2}\sin \frac{{a - b}}{2}\]

Nên sin3x – sinx = \[2\cos \frac{{3x + x}}{2}\sin \frac{{3x - x}}{2}\]

= 2cos2x. sin x

Mà cos2x =\[2{\cos ^2}x - 1\]

Suy ra \[A = \frac{{\sin 3x - \sin x}}{{2{{\cos }^2}x - 1}}\]

\[ = \frac{{2cos2x.{\rm{ }}sin{\rm{ }}x}}{{\cos 2x}}\]= 2sinx

Câu 3