Câu hỏi:

18/06/2025 29

Cho hàm số f(x) = 2x³ + ax² + bx + c có f(0) = 2f'(0) và f(x) ≥ 2f'(x) với mọi x ≥ ‒1. Có bao nhiêu giá tị nguyên của a để hàm số f(x) đồng biến trên ℝ?

A. Vô số.

B. 11.

C. 1.

D. 10.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có f(x) = 2x³ + ax² + bx + c

Suy ra f'(x) = 6x² + 2ax + b

f(0) = 2f'(0), do đó c = 2b

f(x) ≥ 2f'(x) với mọi x ≥ ‒1 nên

2x³ + ax² + bx + c ≥ 2(6x² + 2ax + b) với mọi x ≥ ‒1

2x³ + (a ‒ 12)x² + (b ‒ 4a)x ≥ 0 với mọi x ≥ ‒1

x[2x² + (a ‒ 12)x + b ‒ 4a) ≥ 0 với mọi x ≥ ‒1

Suy ra 2x² + (a ‒12)x + b ‒ 4a = 0 có một nghiệm x = 0

Suy ra b ‒ 4a = 0 hay b = 4a

Khi đó:

x[2x² + (a ‒ 12)x + b ‒ 4a) ≥ 0 với mọi x ≥ ‒1

x²(2x + a ‒ 12) ≥ 0 với mọi x ≥ ‒1

2x + a ‒ 12 ≥ 0 với mọi x ≥ ‒1

a ≥ 12 ‒ 2x với mọi x ≥ ‒1

a ≥ max(12 ‒ 2x) với mọi x ≥ ‒1

a ≥ 14

Để hàm số f(x) đồng biến trên ℝ thì f'(x) = 6x² + 2ax + b ≥ 0 với mọi x.

Suy ra ∆' ≤ 0

a² ‒ 6b ≤ 0

a² ‒ 24a ≤ 0

0 ≤ a ≤ 24.

Kết hợp a ≥ 14, suy ra 14 ≤ a ≤ 24.

Suy ra a ∈ {14; 15;...; 24}.

Vậy có tất cả 11 giá trị nguyên của a thỏa mãn.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Bánh xe đạp có đường kính 55 cm (kể cả lốp). Nếu chạy với vận tốc 40 km/h thì trong 25 s bánh xe quay được số vòng bằng bao nhiêu?

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

Đổi 40 km/h = \[\frac{{100}}{9}\]m/s

Chu vi của bánh xe đạp là:

C = D × π = 55π (cm)

Quãng đường xe đạp đi được trong 25 s là:

1 009 × 25 = 25 009 (m)

Với tốc độ 40 km/h thì trong 25 s bánh xe quay được số vòng là:

25 009 : 0,55π ≈ 160,8 (vòng)

Đáp số: 160,8 vòng

Câu 2

Một bể nước hình nón ngược với bán kính đáy bằng 2 m và chiều cao bằng 4 m (tham khảo hình vẽ dưới đây). Nước được bơm vào bể với tốc độ không đổi là 2 m³/phút. Hỏi tốc độ dâng lên của mực nước (đơn vị m/phút) bằng bao nhiêu khi mực nước trong bể đạt độ sâu bằng 3 m (làm tròn kết quả đến chữ số hàng phần trăm)?

Xem đáp án

Lời giải

Hỏi tốc độ dâng lên của mực nước (đơn vị m/phút) bằng bao nhiêu khi mực nước trong bể đạt độ sâu bằng 3 m (làm tròn kết quả đến chữ số hàng phần trăm)? (ảnh 2)

Ta có: \[\frac{h}{4} = \frac{r}{2}\] hay \[r = \frac{h}{2}\]

Suy ra \[V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi \cdot {\left( {\frac{h}{2}} \right)^2} \cdot h = \frac{1}{{12}}\pi \cdot {h^3}\].

Ta có \[\frac{{dV}}{{dt}}\] là tốc độ bơm nước vào bể theo thời gian;

\[\frac{{dh}}{{dt}}\] là tốc độ dâng lên của nước theo thời gian.

Suy ra \[\frac{{dV}}{{dt}} = \frac{{3\pi {h^2}}}{{12}} \cdot \frac{{dh}}{{dt}}\]

\[\frac{{dh}}{{dt}} = \frac{{dV}}{{dt}}:\frac{{3\pi {h^2}}}{{12}} = 2 \cdot \frac{{12}}{{3\pi {h^2}}}\]

Tại thời điểm h = 3

\[\frac{{dh}}{{dt}} = \frac{{24}}{{3\pi \cdot {3^2}}} = 0,28\] (m/phút).

Vậy tốc độ dâng lên của mực nước là 0,28 m/phút.

Câu 3