Công ty TNHH A dự định sản xuất ít nhất 80 kg đường vàng và 20 kg đường trắng từ hai nguyên liệu là mía và củ cải. Từ một tạ mía giá 600 nghìn đồng có thể sản xuất 40 kg đường vàng và 50 kg đường trắng. Từ một tạ củ cải giá 300 nghìn đồng có thể sản xuất 8 kg đường vàng và 4 kg đường trắng. Nhưng nhà cung cấp nguyên liệu cho công ty chỉ còn 8 tạ mía và 12 tạ củ cải. Hỏi chi phí mua nguyên liệu của công ty ít nhất là bao nhiêu nghìn đồng?

Lời giải:

Gọi x là số tạ mía sử dụng và y là số tạ củ cải sử dụng (x ≥ 0, y ≥ 0).

Chi phí mua nguyên liệu là:

F(x; y) = 600x + 300y (nghìn đồng).

Sản lượng đường vàng: 40x + 8y ≥ 80 hay 5x + y ≥ 10.

Sản lượng đường trắng: 50x + 4y ≥ 20 hay 25x + 2y ≥ 10.

Khả năng cung cấp nguyên liệu: 0 ≤ x ≤ 8 và 0 ≤ y ≤ 12.

Ta có hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 8\\0 \le y \le 12\\5x + y \ge 10\\25x + 2y \ge 10\end{array} \right.\)

Biểu diễn tập nghiệm của các bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ:

– Đường thẳng x = 0 là đường thẳng trùng với trục Oy.

Chọn điểm I(1; 1) không thuộc đường thẳng x = 0, và thay vào biểu thức x ta được 1 > 0.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm I(1; 1).

– Tương tự, ta biểu diễn các miền nghiệm:

• Miền nghiệm của bất phương trình x ≤ 8 là nửa mặt phẳng bờ đường thẳng d₁: x = 8 chứa điểm I(1; 1).

• Miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm I(1; 1).

• Miền nghiệm của bất phương trình y ≤ 12 là nửa mặt phẳng bờ đường thẳng d₂: y = 12 chứa điểm I(1; 1).

• Miền nghiệm của bất phương trình 5x + y ≥ 10 là nửa mặt phẳng bờ đường thẳng d₃: y = 10 – 5x không chứa điểm I(1; 1).

• Miền nghiệm của bất phương trình 25x + 2y ≥ 10 là nửa mặt phẳng bờ đường thẳng d₄: y = 5 – 12,5x chứa điểm I(1; 1).

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền không bị gạch như hình vẽ dưới đây:

Miền nghiệm của hệ là miền ngũ giác ABCDE với A(0; 12), B(8; 12), C(8; 0), D(2; 0) và E(0; 10).

Ta có F(0; 12) = 600 . 0 + 300 . 12 = 3 600;

F(8; 12) = 600 . 8 + 300 . 12 = 8 400;

F(8; 0) = 600 . 8 + 300 . 0 = 4 800;

F(2; 0) = 600 . 2 + 300 . 0 = 1 200;

F(0; 10) = 600 . 0 + 300 . 10 = 3 000.

Giá trị nhỏ nhất là F(2; 0) = 1200.

Vậy chi phí mua nguyên liệu của công ty ít nhất là 1 200 000 đồng khi chỉ dùng 2 tạ mía.