Nhóm của An tổ chức đi dã ngoại, các bạn dự định dựng một cái lều trên bãi có dạng hình lăng trụ đứng tam giác với kích thước như hình bên.

a) Tính thể tích khoảng không bên trong lều.

b) Biết rằng phủ vải bốn phía, trừ mặt trên cỏ. Tính diện tích bạt cần phải có để đựng lều.

 

a) Xét \(\Delta OAE\) và \(\Delta OBF\), có:

\(\widehat {OAE} = \widehat {OBF} = 90^\circ \)

\(OA = OB\) (giả thiết)

\(\widehat {AOB}\) là góc chung

Do đó, \(\Delta OAE = \Delta OBF\) (cgv – gn)

Suy ra \(OE = OF\) (hai cạnh tương ứng)

b) Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho \(\Delta EIF\), ta được: \(EF < EI + IF\).

Mà \(2EM = EF\) (do \(M\) là trung điểm của \(EF\))

Suy ra \(2EM < EI + IF.\)

Vậy \(EM < \frac{{EI + IF}}{2}.\)

c) Xét \(\Delta EOF\) có hai đường cao \(FB\) và \(AE\) cắt nhau tại \(I\).

Suy ra \(I\) là trực tâm của \(\Delta OEF.\)

Do đó, \(OI \bot EF\) (1)

Xét \(\Delta OEM\) và \(\Delta OFM\), có:

\(OM\) là cạnh chung

\(ME = MF\) (do \(M\) là trung điểm của \(EF\))

\(OE = OF\) (câu a)

Do đó, \(\Delta OEM = \Delta OFM\) (c.c.c)

Suy ra \(\widehat {OME} = \widehat {OMF}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {OME} + \widehat {OMF} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

Do đó, \(\widehat {OME} = \widehat {OMF} = 90^\circ \) hay \(OM \bot EF\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(O,I,M\) thẳng hàng.

Gọi số công nhân của ba đội I, II, III lần lượt là \(x;y;z\) \(\left( {x;y;z \in {\mathbb{N}^*}} \right)\), đơn vị: công nhân.

Theo đề bài, sau khi bớt đi 1 công nhân thì đội I còn lại \(x - 1\) (công nhân)

                     sau khi bớt đi 2 công nhân thì đội II còn lại  \(y - 2\) (công nhân)

                     sau khi thêm 3 công nhân thì đội III có \(z + 3\) (công nhân)

Mà, lúc này số công nhân đội I, II, III lần lượt tỉ lệ nghịch với \(3;4;2\).

Do đó, ta có: \(3\left( {x - 1} \right) = 4\left( {y - 2} \right) = 2\left( {z + 3} \right)\) hay \(\frac{{x - 1}}{{\frac{1}{3}}} = \frac{{y - 2}}{{\frac{1}{4}}} = \frac{{z + 3}}{{\frac{1}{2}}}\).

Lại có \(x + y + z = 104\) (công nhân)

Từ đây, áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{{x - 1}}{{\frac{1}{3}}} = \frac{{y - 2}}{{\frac{1}{4}}} = \frac{{z + 3}}{{\frac{1}{2}}} = \frac{{x - 1 + y - 2 + z + 3}}{{\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2}}} = \frac{{x + y + z}}{{\frac{{13}}{{12}}}} = \frac{{104}}{{\frac{{13}}{{12}}}} = 96\)

Suy ra \(\frac{{x - 1}}{{\frac{1}{3}}} = 96\) nên \(x = 33\); \(\frac{{y - 2}}{{\frac{1}{4}}} = 96\) nên \(y = 26\); \(\frac{{z + 3}}{{\frac{1}{2}}} = 96\) nên \(z = 45\).

Vậy, số công nhân của các đội I, II, III lần lượt là 33 công nhân, 26 công nhân và 45 công nhân.