Câu hỏi:

30/06/2025 13

Cho $\widehat {xOy}$ là góc nhọn. Trên tia $Ox$ lấy điểm $A$ ($A \ne O$). Trên tia $Oy$ lấy điểm $B$ sao cho $OA = OB$. Từ $A$ kẻ đường thẳng vuông góc với $OA$, cắt $Oy$ tại $E$. Từ $B$ kẻ đường thẳng vuông góc với $OB$, cắt $Ox$ tại $F$.

     a) Chứng minh $\Delta OAE = \Delta OBF$, từ đó suy ra $OE = OF$.

     b) Gọi $I$ là giao điểm của $AE$ và $BF$. Gọi $M$ là trung điểm của $EF$. So sánh $EM$ và $\frac{{EI + IF}}{2}.$

     c) Chứng minh ba điểm $O$, $I$, $M$ thẳng hàng.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 12 Đề thi học kì 2 Toán 7 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$Cho $\widehat {xOy}$ là góc nhọn. Trên tia $Ox$ lấy điểm $A$ ($A \ne O$). Trên tia $Oy$ lấy điểm $B$ sao cho $OA = OB$. Từ $A$ kẻ đường thẳng vuông góc với $OA$, cắt $Oy$ tại $E$. Từ $B$ kẻ đường thẳng vuông góc với $OB$, cắt $Ox$ tại $F$. a) Chứng minh $\Delta OAE = \Delta OBF$, từ đó suy ra $OE = OF$. b) Gọi $I$ là giao điểm của $AE$ và $BF$. Gọi $M$ là trung điểm của $EF$. So sánh $EM$ và $\frac{{EI + IF}}{2}.$ c) Chứng minh ba điểm $O$, $I$, $M$ thẳng hàng. (ảnh 1)$

a) Xét $\Delta OAE$ và $\Delta OBF$, có:

$\widehat {OAE} = \widehat {OBF} = 90^\circ $

$OA = OB$ (giả thiết)

$\widehat {AOB}$ là góc chung

Do đó, $\Delta OAE = \Delta OBF$ (cgv – gn)

Suy ra $OE = OF$ (hai cạnh tương ứng)

b) Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho $\Delta EIF$, ta được: $EF < EI + IF$.

Mà $2EM = EF$ (do $M$ là trung điểm của $EF$)

Suy ra $2EM < EI + IF.$

Vậy $EM < \frac{{EI + IF}}{2}.$

c) Xét $\Delta EOF$ có hai đường cao $FB$ và $AE$ cắt nhau tại $I$.

Suy ra $I$ là trực tâm của $\Delta OEF.$

Do đó, $OI \bot EF$ (1)

Xét $\Delta OEM$ và $\Delta OFM$, có:

$OM$ là cạnh chung

$ME = MF$ (do $M$ là trung điểm của $EF$)

$OE = OF$ (câu a)

Do đó, $\Delta OEM = \Delta OFM$ (c.c.c)

Suy ra $\widehat {OME} = \widehat {OMF}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat {OME} + \widehat {OMF} = 180^\circ $ (hai góc kề bù)

Do đó, $\widehat {OME} = \widehat {OMF} = 90^\circ $ hay $OM \bot EF$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $O,I,M$ thẳng hàng.

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

1.1. Tìm $x,$ biết:

a) $\frac{x}{{ - 6}} = \frac{3}{4};$ b) $\frac{{2x + 1}}{6} = \frac{{3 - x}}{9}$.

1.2. Hưởng ứng chương trình giúp đỡ các bạn học sinh vùng núi, ba lớp $7A$, $7B$, $7C$ đã quyên góp được một số lượng quyển vở tỉ lệ với số học sinh của mỗi lớp. Biết rằng lớp $7A$ có 32 học sinh, lớp $7B$ có 35 học sinh, lớp $7C$ có 36 học sinh và tổng số quyển vở lớp $7A$ và $7B$ quyên góp được nhiều hơn lớp $7C$ là 62 quyển. Tính số quyển vở mỗi lớp quyên góp được.

Xem đáp án

Lời giải

1.1.

a) $\frac{x}{{ - 6}} = \frac{3}{4}$

$4x = 3.\left( { - 6} \right)$

$4x = - 18$

$x = \frac{{ - 18}}{4}$

$x = \frac{{ - 9}}{2}$.

Vậy $x = \frac{{ - 9}}{2}$.

b) $\frac{{2x + 1}}{6} = \frac{{3 - x}}{9}$

$9\left( {2x + 1} \right) = 6\left( {3 - x} \right)\\(18x + 6x = 18 - 9$)

$18x + 9 = 18 - 6x$

$24x = 9$

$x = \frac{3}{8}$.

Vậy $x = \frac{3}{8}$.

1.2. Gọi \[a\], $b$, $c$ (quyển vở) lần lượt là số quyển vở lớp $7A$, $7B$, $7C$ quyên góp được.

Theo đề, ta có tổng số quyển vở lớp $7A$ và $7B$ quyên góp được nhiều hơn lớp $7C$ là 62 quyển, suy ra $a + b - c = 62$.

Do số quyển vở mỗi lớp quyên góp được tỉ lệ thuận với số học sinh của lớp đó nên: $\frac{a}{{32}} = \frac{b}{{35}} = \frac{c}{{36}}$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được: $\frac{a}{{32}} = \frac{b}{{35}} = \frac{c}{{36}} = \frac{{a + b - c}}{{32 + 35 - 36}} = \frac{{62}}{{31}} = 2$.

Suy ra $a = 32.2 = 64$; $b = 35.2 = 70$; $c = 36.2 = 72$.

Vậy số quyển vở lớp $7A$, $7B$, $7C$ quyên góp được lần lượt là 64 quyển vở; 70 quyển vở và 72 quyển vở.

Câu 2

2.1. Tính giá trị của biểu thức $A = \frac{{x - 2y - z}}{2}$ với $x = - 1;y = 1;z = - 1$.

2.2. Cho đa thức $A\left( x \right) = \frac{3}{4}{x^3} - 1 + \frac{3}{5}x + 4{x^2} + \frac{5}{4}{x^3} - \frac{8}{5}x + 4 + 7{x^2}$.

     a) Thu gọn và sắp xếp đa thức $A\left( x \right)$ theo lũy thừa giảm dần của biến.

     b) Tính giá trị của $A\left( x \right)$ tại $x = - 1$.

     c) Tìm đa thức $C\left( x \right)$ sao cho $B\left( x \right) - C\left( x \right) = A\left( x \right)$, biết $B\left( x \right) = 2{x^3} + 12{x^2} - 3x + 3$. Tìm nghiệm của đa thức $C\left( x \right)$.

Xem đáp án

Lời giải

2.1. Thay $x = - 1;y = 1;z = - 1$ vào biểu thức $A = \frac{{x - 2y - z}}{2}$, ta được:

$A = \frac{{ - 1 - 2.1 - \left( { - 1} \right)}}{2} = \frac{{ - 1 - 2 + 1}}{2} = - 1$.

Vậy giá trị của biểu thức $A = - 1$.

2.2. a) $A\left( x \right) = \frac{3}{4}{x^3} - 1 + \frac{3}{5}x + 4{x^2} + \frac{5}{4}{x^3} - \frac{8}{5}x + 4 + 7{x^2}$

$ = \left( {\frac{3}{4} + \frac{5}{4}} \right){x^3} + \left( {4 + 7} \right){x^2} + \left( {\frac{3}{5} - \frac{8}{5}} \right)x - 1 + 4$

$ = 2{x^3} + 11{x^2} - x + 3$.

b) Thay $x = - 1$ vào $A\left( x \right)$, ta được: $A\left( { - 1} \right) = 2.{\left( { - 1} \right)^3} + 11.{\left( { - 1} \right)^2} - \left( { - 1} \right) + 3 = - 2 + 11 + 1 + 3 = 13$.

Vậy giá trị của $A = 13$ khi $x = - 1$.

c) Ta có $B\left( x \right) - C\left( x \right) = A\left( x \right)$.

Suy ra $C\left( x \right) = B\left( x \right) - A\left( x \right)$

$ = 2{x^3} + 12{x^2} - 3x + 3 - \left( {2{x^3} + 11{x^2} - x + 3} \right)$

$ = 2{x^3} + 12{x^2} - 3x + 3 - 2{x^3} - 11{x^2} + x - 3$

$ = {x^2} - 2x$.

Để tìm nghiệm của đa thức $C\left( x \right)$, ta cho $C\left( x \right) = 0$

Do đó ${x^2} - 2x = 0$ hay $x\left( {x - 2} \right) = 0$

Suy ra $x = 0$ hoặc $x = 2$.

Vậy nghiệm của đa thức $C\left( x \right)$ là $x \in \left\{ {0;2} \right\}$.

Câu 3