(0,5 điểm) Cho tỉ lệ thức \(\frac{a}{c} = \frac{c}{b}\). Chứng minh rằng tỉ lệ thức \(\frac{{{b^2} - {a^2}}}{{{a^2} + {c^2}}} = \frac{{b - a}}{a}.\)

Hướng dẫn giải

Vì \(AD\) cắt \(BF\) tại \(N\) nên \(FN = BN = \frac{1}{2}BF\) (1).

Chứng minh tương tự, ta được: \(AM = MC = \frac{1}{2}AC\) (2)

Vì \(OA\) là đường tủng tuyến của tam giác \(ABC\) nên \(O\) là trung điểm của \(BC\) hay \(OB = OC\).

Xét \(\Delta OFB\) và \(\Delta OAC\) có:

\(OF = OA\) (gt)

\(\widehat {FOB} = \widehat {AOC}\) (hai góc đối đỉnh)

\(OB = OC\) (cmt)

Do đó, \(\Delta OFB = \Delta OAC\) (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {OFB} = \widehat {OAC}\) (hai góc tương ứng) và \(BF = AC\) (hai cạnh tương ứng) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(AM = FN\).

Xét \(\Delta AOM\) và \(\Delta FON\) có:

\(AM = FN\) (cmt)

\(\widehat {OFN} = \widehat {OAM}\) (cmt)

\(OF = OA\) (gt)

Do đó, \(\Delta AOM = \Delta FON\) (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {AOM} = \widehat {FON}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {AOM} + \widehat {FOM} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

Suy ra \(\widehat {FON} + \widehat {FOM} = 180^\circ \).

Do đó, \(M,O,N\) thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

3.1. a) Ta có: \(P\left( x \right) = 7{x^3} + 3{x^4} - {x^2} - 4{x^4} + 5{x^2} - 6{x^3} - 2{x^4} + 2017 - {x^3}\)

\(P\left( x \right) = \left( {3{x^4} - 4{x^4} - 2{x^4}} \right) + \left( {7{x^3} - {x^3} - 6{x^3}} \right) + \left( { - {x^2} + 5{x^2}} \right) + 2017\)

\(P\left( x \right) = - 3{x^4} + 4{x^2} + 2017\).

b) Hệ số cao nhất của đa thức là \( - 3\), hệ số tự do là \(2017\) và bậc của đa thức là \(4.\)

c) Ta có: \(P\left( { - 1} \right) = - 3.{\left( { - 1} \right)^4} + 4.{\left( { - 1} \right)^2} + 2017 = - 3 + 4 + 2017 = 2018\).

\(P\left( 1 \right) = - {3.1^4} + {4.1^2} + 2017 = - 3 + 4 + 2017 = 2018\);

\(P\left( 0 \right) = - {3.0^4} + {4.0^2} + 2017 = 2017\).

d) Ta có: \(Q\left( x \right) - 3{x^4} + 2{x^2} + 17 = P\left( x \right)\) nên \(Q\left( x \right) = P\left( x \right) + 3{x^4} - 2{x^2} - 17\)

Suy ra \(Q\left( x \right) = - 3{x^4} + 4{x^2} + 2017 + 3{x^4} - 2{x^2} - 17\)

Do đó, \(Q\left( x \right) = 2{x^2} + 2000\).

3.2. Ta có: \(Q\left( x \right) = {x^{14}} - 10{x^{13}} + 10{x^{12}} - 10{x^{11}} + ... + 10{x^2} - 10x + 10\)

Nhận thấy \(10 = 9 + 1 = x + 1.\)

Do đó, \(Q\left( x \right) = {x^{14}} - \left( {x + 1} \right){x^{13}} + \left( {x + 1} \right){x^{12}} - \left( {x + 1} \right){x^{11}} + ... + \left( {x + 1} \right){x^2} - \left( {x + 1} \right)x + \left( {x + 1} \right)\)

\(Q\left( x \right) = {x^{14}} - {x^{14}} - {x^{13}} + {x^{13}} + {x^{12}} - {x^{12}} - {x^{11}} + ... + {x^3} + {x^2} - {x^2} - x + x + 1\)

\(Q\left( x \right) = 1\).

Vậy \(Q\left( x \right) = 1\).