Câu hỏi:
30/06/2025 12(0,5 điểm) Cho tỉ lệ thức \(\frac{a}{c} = \frac{c}{b}\). Chứng minh rằng tỉ lệ thức \(\frac{{{b^2} - {a^2}}}{{{a^2} + {c^2}}} = \frac{{b - a}}{a}.\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
Từ tỉ lệ thức \(\frac{a}{c} = \frac{c}{b}\) suy ra \({c^2} = ab\) (1)
Đặt \(\frac{a}{c} = \frac{c}{b} = k\) suy ra \(a = ck;c = bk\). Do đó, \(\frac{{{a^2} + {c^2}}}{{{b^2} + {c^2}}} = \frac{{{{\left( {ck} \right)}^2} + {c^2}}}{{{b^2} + {{\left( {bk} \right)}^2}}} = \frac{{{c^2}\left( {{k^2} + 1} \right)}}{{{b^2}\left( {{k^2} + 1} \right)}} = \frac{{{c^2}}}{{{b^2}}}\) (2)
Từ (1) và (2) ta có: \(\frac{{{a^2} + {c^2}}}{{{b^2} + {c^2}}} = \frac{{{c^2}}}{{{b^2}}} = \frac{{ab}}{{{b^2}}} = \frac{a}{b}.\)
Suy ra \(\frac{{{b^2} + {c^2}}}{{{a^2} + {c^2}}} = \frac{b}{a}\), suy ra \(\frac{{{b^2} + {c^2}}}{{{a^2} + {c^2}}} - 1 = \frac{b}{a} - 1\) hay \(\frac{{{b^2} + {c^2} - {c^2} - {a^2}}}{{{a^2} + {c^2}}} = \frac{{b - a}}{a}\).
Do đó, \(\frac{{{b^2} - {a^2}}}{{{a^2} + {c^2}}} = \frac{{b - a}}{a}\) (đpcm).
Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Hướng dẫn giải
2.1. Gọi thời gian để hoàn thành công việc của \(40\) công nhân là \(t\) giờ \(\left( {t > 0} \right)\).
Vì khối lượng công việc là không dổi nên số công nhân và thời gian để hoàn thành công việc đó là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, ta có: \(30.8 = 40t\) suy ra \(t = \frac{{30.8}}{{40}} = 6\).
Vậy thời gian để hoàn thành công việc của 40 công nhân là 6 giờ.
2.2. Gọi số viên kẹo tương ứng của An, Bình, Cầm lần lượt là \(a;b;c\) (viên kẹo) \(\left( {a;b;c \in \mathbb{N}} \right)\).
Vì số kẹo của An, Bình, Cầm tương ứng tỉ lệ với \(2;3;4\) nên ta có: \(\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4}.\)
Mặt khác, Cầm nhiều hơn An \(8\) viên kẹo nên ta có \(c - a = 8\) (viên)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: \(\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4} = \frac{{c - a}}{{4 - 2}} = \frac{8}{2} = 4\).
Do đó, \(\frac{a}{2} = 4\), suy ra \(a = 2.4 = 8\).
\(\frac{b}{3} = 4\), suy ra \(b = 3.4 = 12\).
\(\frac{c}{4} = 4\), suy ra \(c = 4.4 = 16\).
Vậy số kẹo của An, Bình, Cầm lần lượt là \(8;12\) và \(16\) viên.
Lời giải
Hướng dẫn giải
4.1. Ta có \(E\) là hình chiếu của \(B\) lên cạnh \(CD\), suy ra \(BE \bot CD\) tại \(E\) hay \(CE \bot BE\) tại \(E\).
Do đó, độ dài \(CE\) là khoảng cách từ \(C\) đến đường thẳng \(BE\) (1).
Hình vuông \(ABED\) có diện tích là \(7.7 = 49{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Diện tích hình thang \(ABCD\) là \(49.2 = 98{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).
Ta có công thức tính diện tích hình thang \(ABCD\) là \(S = \frac{{\left( {AB + CD} \right).BE}}{2}\).
Mà \(AB = BE = 7{\rm{ cm; }}S = 98{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}\).
Suy ra, độ dài đáy lớn của hình thang \(ABCD\) là \(CD = \frac{{98.2}}{7} = 21{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Do \(E \in CD\) nên \(CD = CE + DE\).
Suy ra \(CE = CD - DE = 21 - 7 = 14{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)\) (2).
Từ (1) và (2) suy ra khoảng cách từ \(C\) đến đường thẳng \(BE\) là \(14{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
4.2. Giả sử tam giác \(ABC\) có \(AB = 6{\rm{ cm, }}AC = 2{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)
Theo bất đẳng thức tam giác, ta có \(AB - AC < BC < AB + AC\). Suy ra \(4 < BC < 8\).
Mà \(BC\) có độ dài là một số chẵn.
Do đó, \(BC = 6{\rm{ cm}}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo