(1,5 điểm)

4.1. Cho hình thang \(ABCD\) như hình vẽ dưới đây có \(AB = 7{\rm{ cm}}{\rm{.}}\) Gọi \(E\) là hình chiếu của \(B\) lên cạnh \(CD\). Biết \(ABED\) là hình vuông và diện tích hình thang \(ABCD\) gấp hai lần diện tích hình vuông \(ABED\).

Hỏi khoảng cách từ \(C\) đến đường thẳng \(BE\) là bao nhiêu centimét?

4.2. Độ dài hai cạnh của một tam giác bằng \(6{\rm{ cm}}\) và \({\rm{2 cm}}\). Tính độ dài cạnh còn lại của tam giác biết rằng số đo cạnh đó với đơn vị centimet là một số tự nhiên chẵn.

Hướng dẫn giải

Vì \(AD\) cắt \(BF\) tại \(N\) nên \(FN = BN = \frac{1}{2}BF\) (1).

Chứng minh tương tự, ta được: \(AM = MC = \frac{1}{2}AC\) (2)

Vì \(OA\) là đường tủng tuyến của tam giác \(ABC\) nên \(O\) là trung điểm của \(BC\) hay \(OB = OC\).

Xét \(\Delta OFB\) và \(\Delta OAC\) có:

\(OF = OA\) (gt)

\(\widehat {FOB} = \widehat {AOC}\) (hai góc đối đỉnh)

\(OB = OC\) (cmt)

Do đó, \(\Delta OFB = \Delta OAC\) (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {OFB} = \widehat {OAC}\) (hai góc tương ứng) và \(BF = AC\) (hai cạnh tương ứng) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(AM = FN\).

Xét \(\Delta AOM\) và \(\Delta FON\) có:

\(AM = FN\) (cmt)

\(\widehat {OFN} = \widehat {OAM}\) (cmt)

\(OF = OA\) (gt)

Do đó, \(\Delta AOM = \Delta FON\) (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {AOM} = \widehat {FON}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {AOM} + \widehat {FOM} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

Suy ra \(\widehat {FON} + \widehat {FOM} = 180^\circ \).

Do đó, \(M,O,N\) thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

3.1. a) Ta có: \(P\left( x \right) = 7{x^3} + 3{x^4} - {x^2} - 4{x^4} + 5{x^2} - 6{x^3} - 2{x^4} + 2017 - {x^3}\)

\(P\left( x \right) = \left( {3{x^4} - 4{x^4} - 2{x^4}} \right) + \left( {7{x^3} - {x^3} - 6{x^3}} \right) + \left( { - {x^2} + 5{x^2}} \right) + 2017\)

\(P\left( x \right) = - 3{x^4} + 4{x^2} + 2017\).

b) Hệ số cao nhất của đa thức là \( - 3\), hệ số tự do là \(2017\) và bậc của đa thức là \(4.\)

c) Ta có: \(P\left( { - 1} \right) = - 3.{\left( { - 1} \right)^4} + 4.{\left( { - 1} \right)^2} + 2017 = - 3 + 4 + 2017 = 2018\).

\(P\left( 1 \right) = - {3.1^4} + {4.1^2} + 2017 = - 3 + 4 + 2017 = 2018\);

\(P\left( 0 \right) = - {3.0^4} + {4.0^2} + 2017 = 2017\).

d) Ta có: \(Q\left( x \right) - 3{x^4} + 2{x^2} + 17 = P\left( x \right)\) nên \(Q\left( x \right) = P\left( x \right) + 3{x^4} - 2{x^2} - 17\)

Suy ra \(Q\left( x \right) = - 3{x^4} + 4{x^2} + 2017 + 3{x^4} - 2{x^2} - 17\)

Do đó, \(Q\left( x \right) = 2{x^2} + 2000\).

3.2. Ta có: \(Q\left( x \right) = {x^{14}} - 10{x^{13}} + 10{x^{12}} - 10{x^{11}} + ... + 10{x^2} - 10x + 10\)

Nhận thấy \(10 = 9 + 1 = x + 1.\)

Do đó, \(Q\left( x \right) = {x^{14}} - \left( {x + 1} \right){x^{13}} + \left( {x + 1} \right){x^{12}} - \left( {x + 1} \right){x^{11}} + ... + \left( {x + 1} \right){x^2} - \left( {x + 1} \right)x + \left( {x + 1} \right)\)

\(Q\left( x \right) = {x^{14}} - {x^{14}} - {x^{13}} + {x^{13}} + {x^{12}} - {x^{12}} - {x^{11}} + ... + {x^3} + {x^2} - {x^2} - x + x + 1\)

\(Q\left( x \right) = 1\).

Vậy \(Q\left( x \right) = 1\).