Câu hỏi:

30/06/2025 12

(1,5 điểm) Cho hai đoạn thẳng \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại trung điểm \(O\) của mỗi đoạn. Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC,CD\). Đoạn thẳng \(AM,AN\) cắt \(BD\) lần lượt tại \(I,K\). Chứng minh:

a) \(I\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\) và \(K\) là trọng tâm của tam giác \(\Delta ADC\).

b) \(BI = IK = KD.\)

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

(1,5 điểm) Cho hai đoạn thẳng   A C   và   B D   cắt nhau tại trung điểm   O   của mỗi đoạn. Gọi   M , N   lần lượt là trung điểm của   B C , C D  . Đoạn thẳng   A M , A N   cắt   B D   lần lượt tại   I , K  . Chứng minh:  a)   I   là trọng tâm của   Δ A B C   và   K   là trọng tâm của tam giác   Δ A D C  .  b)   B I = I K = K D . (ảnh 1)

a) Xét \(\Delta ABC\), ta có: \(O\) là trung điểm của \(AC\), \(M\) là trung điểm của \(BC\).

Do đó, \(BO,AM\) là các đường trung tuyến của \(\Delta ABC\).

Mà \(BO\) cắt \(AM\) tại \(I\) nên \(I\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\).

Xét \(\Delta ADC\), ta có: \(O\) là trung điểm của \(AC\), \(N\) là trung điểm của \(DC\).

Do đó, \(DO,AN\) là các đường trung tuyến của \(\Delta ADC\).

Mà \(DO\) cắt \(AN\) tại \(K\) nên \(K\) là trọng tâm của \(\Delta ADC\).

b) Xét \(\Delta ABC\) có \(I\) là trọng tâm nên \(IO = \frac{1}{3}BO\).

Xét \(\Delta ADC\) có \(K\) là trọng tâm nên \(KO = \frac{1}{3}DO\).

Mà \(O\) là trung điểm của \(BD\) nên \(BO = DO\).

Do đó, ta có: \(IO + KO = \frac{1}{3}BO + \frac{1}{3}DO = \frac{2}{3}BO\) hay \(IK = \frac{2}{3}BO\).

Do đó, \(BI = IK = KD = \frac{2}{3}BO = \frac{2}{3}DO.\)

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Hướng dẫn giải

a) \(\frac{{1,2}}{x} = \frac{5}{2}\) nên \(x = \frac{{2.1,2}}{5} = 0,48\). Vậy \(x = 0,48\).

b) \(\frac{x}{3} = \frac{y}{2}\) và \(x + y = 10\).

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: \(\frac{x}{3} = \frac{y}{2} = \frac{{x + y}}{{3 + 2}} = \frac{{10}}{5} = 2\).

Suy ra \(x = 3.2 = 6;{\rm{ }}y = 2.2 = 4\).

Vậy \(x = 6;y = 4.\)

c) \(\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{6}\) và \(y + z = 80\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: \(\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{6} = \frac{{y + z}}{{4 + 6}} = \frac{{80}}{{10}} = 8\).

Suy ra \(x = 3.8 = 24;{\rm{ }}y = 4.8 = 32;{\rm{ }}z = 6.8 = 48\).

Vậy \(x = 24;{\rm{ }}y = 32;{\rm{ }}z = 48.\)

Lời giải

Hướng dẫn giải

2.1. Có \(10\) vòi nước công suất như nhau cùng chảy vào một bể thì sau 6 giờ thì đầy bể. Vậy hỏi số vòi nước cùng công suất để sau 5 giờ thì đầy bể là bao nhiêu?

2.2.Gọi số cây mỗi lớp 7A, 7B, 7C trồng được lần lượt là \(a,b,c\) cây \(\left( {a,b,c \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).

Số cây lớp 7A, 7B, 7C trồng lần lượt tỉ lệ với \(6;4;5\) suy ra \(\frac{a}{6} = \frac{b}{4} = \frac{c}{5}\).

Tổng số cây lớp 7B và 7C trồng được nhiều hơn của lớp 7A là \(15\) cây.

Do đó, ta có: \(b + c - a = 15\).

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: \(\frac{a}{6} = \frac{b}{4} = \frac{c}{5} = \frac{{b + c - a}}{{4 + 5 - 6}} = \frac{{15}}{3} = 5\).

Ta có: \(a = 6.5 = 30\) (thỏa mãn), \(b = 5.4 = 20\) (thỏa mãn), \(c = 5.5 = 25\) (thỏa mãn)

Vậy số cây mỗi lớp 7A, 7B, 7C trồng được lần lượt là \(30\) cây, \(20\) cây, \(25\) cây.