(1,5 điểm) Cho hai đoạn thẳng \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại trung điểm \(O\) của mỗi đoạn. Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC,CD\). Đoạn thẳng \(AM,AN\) cắt \(BD\) lần lượt tại \(I,K\). Chứng minh:

a) \(I\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\) và \(K\) là trọng tâm của tam giác \(\Delta ADC\).

b) \(BI = IK = KD.\)

(1,5 điểm) Tìm \(x,y,z\) trong các tỉ lệ thức sau:

a) \(\frac{{1,2}}{x} = \frac{5}{2};\)

b) \(\frac{x}{3} = \frac{y}{2}\) và \(x + y = 10;\)

c) \(\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{6}\) và \(y + z = 80\).

(2,0 điểm)

2.1. Có \(10\) vòi nước công suất như nhau cùng chảy vào một bể thì sau 6 giờ thì đầy bể. Vậy hỏi số vòi nước cùng công suất để sau 5 giờ thì đầy bể là bao nhiêu?

2.2. Hưởng ứng phong trào “Tết trồng cây”, ba lớp 7A, 7B, 7C tham gia trồng cây xanh trên địa bàn phường. biết rằng số cây lớp 7A, 7B, 7C trồng lần lượt tỉ lệ với \(6;4;5\) và tổng số cây của lớp 7B và 7C trồng được nhiều hơn của lớp 7A là 15 cây. Tính số cây mỗi lớp trồng được.

(1,5 điểm)

4.1. Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\). Có \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BC\). Chứng minh \(AM\) là khoảng cách từ điểm \(A\) đến cạnh \(BC\) của tam giác \(ABC\).

4.2. Tìm tam giác \(ABC\) có chu vi \(18{\rm{ cm}}\), \(BC > AC > AB\). Tính độ dài cạnh \(BC\) biết rằng độ dài đó là một số chẵn (đơn vị: cm).

(3,0 điểm)

3.1. Cho đa thức \(C\left( x \right) = {x^4} + {x^3} - 4x - {x^4} + 3x + 7 + 3{x^2} - {x^2}\).

a) Thu gọn và sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến.

b) Chỉ ra hệ số cao nhất, hệ số tự do và bậc của đa thức \(C\left( x \right)\).

c) Tính các giá trị \(C\left( { - 2} \right),C\left( 1 \right),C\left( { - 1} \right).\)

d) Tìm đa thức \(D\left( x \right)\), biết \(D\left( x \right) - x + 2{x^2} - 1 = C\left( x \right)\).

3.2. Tính giá trị nhỏ nhất của đa thức \(G = {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^4} - 2025\).

(0,5 điểm) Chứng minh rằng nếu \(a\left( {y + z} \right) = b\left( {z + x} \right) = c\left( {x + y} \right)\) với \(a,b,c\) là các số khác nhau và khác \(0\) thì \(\frac{{y - z}}{{a\left( {b - c} \right)}} = \frac{{z - x}}{{b\left( {c - a} \right)}} = \frac{{x - y}}{{c\left( {a - b} \right)}}\).