(3,0 điểm)

3.1. Cho đa thức \(C\left( x \right) = {x^4} + {x^3} - 4x - {x^4} + 3x + 7 + 3{x^2} - {x^2}\).

a) Thu gọn và sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến.

b) Chỉ ra hệ số cao nhất, hệ số tự do và bậc của đa thức \(C\left( x \right)\).

c) Tính các giá trị \(C\left( { - 2} \right),C\left( 1 \right),C\left( { - 1} \right).\)

d) Tìm đa thức \(D\left( x \right)\), biết \(D\left( x \right) - x + 2{x^2} - 1 = C\left( x \right)\).

3.2. Tính giá trị nhỏ nhất của đa thức \(G = {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^4} - 2025\).

Hướng dẫn giải

a) \(\frac{{1,2}}{x} = \frac{5}{2}\) nên \(x = \frac{{2.1,2}}{5} = 0,48\). Vậy \(x = 0,48\).

b) \(\frac{x}{3} = \frac{y}{2}\) và \(x + y = 10\).

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: \(\frac{x}{3} = \frac{y}{2} = \frac{{x + y}}{{3 + 2}} = \frac{{10}}{5} = 2\).

Suy ra \(x = 3.2 = 6;{\rm{ }}y = 2.2 = 4\).

Vậy \(x = 6;y = 4.\)

c) \(\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{6}\) và \(y + z = 80\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: \(\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{6} = \frac{{y + z}}{{4 + 6}} = \frac{{80}}{{10}} = 8\).

Suy ra \(x = 3.8 = 24;{\rm{ }}y = 4.8 = 32;{\rm{ }}z = 6.8 = 48\).

Vậy \(x = 24;{\rm{ }}y = 32;{\rm{ }}z = 48.\)

Hướng dẫn giải

4.1.

Xét

\(\Delta ABM\) và \(\Delta ACM\) có:

\(AB = AC\) (\(\Delta ABC\) cân tại \(A\))

\(\widehat B = \widehat C\)(\(\Delta ABC\) cân tại \(A\))

\(BM = MC\)

Suy ra \(\Delta ABM = \Delta ACM\) (c.g.c)

Do đó, \(\widehat {AMB} = \widehat {AMC}\) (hai góc tương ứng)

Mà hai góc \(\widehat {AMB} = \widehat {AMC}\) (hai góc tương ứng) (1)

Mà hai góc \(\widehat {AMB}\) và \(\widehat {AMC}\) là hai góc kề bù.

Suy ra \(\widehat {AMB} + \widehat {AMC} = 180^\circ \) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {AMB} = \widehat {AMC} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \).

Do đó, \(AM \bot BC\) tại \(M.\)

Vậy \(AM\) là khoảng cách từ \(A\) đến cạnh \(BC\) của tam giác \(ABC.\)

4.2. Ta có \(BC > AB,BC > AC\) nên \(BC + BC + BC > AC + AB + BC\) tức là \(3BC > 18\) hay \(BC > 6.\)

Ta có \(BC < AC + AB\) nên \(BC + BC < AB + AC + BC\), tức là \(2BC < 18\) nên \(BC < 9\).

Từ đây suy ra \(6 < BC < 9\) và \(BC\) là một số tự nhiên chẵn nên \(BC = 8{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)