(3,0 điểm)

3.1. Cho đa thức \(C\left( x \right) = {x^4} + {x^3} - 4x - {x^4} + 3x + 7 + 3{x^2} - {x^2}\).

a) Thu gọn và sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến.

b) Chỉ ra hệ số cao nhất, hệ số tự do và bậc của đa thức \(C\left( x \right)\).

c) Tính các giá trị \(C\left( { - 2} \right),C\left( 1 \right),C\left( { - 1} \right).\)

d) Tìm đa thức \(D\left( x \right)\), biết \(D\left( x \right) - x + 2{x^2} - 1 = C\left( x \right)\).

3.2. Tính giá trị nhỏ nhất của đa thức \(G = {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^4} - 2025\).

Hướng dẫn giải

3.1. a) Ta có: \(C\left( x \right) = {x^4} + {x^3} - 4x - {x^4} + 3x + 7 + 3{x^2} - {x^2}\)

\(C\left( x \right) = \left( {{x^4} - {x^4}} \right) + {x^3} + \left( { - 4x + 3x} \right) + \left( {3{x^2} - {x^2}} \right) + 7\)

\(C\left( x \right) = {x^3} - x + 2{x^2} + 7\) hay \(C\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x + 7\).

b) Đa thức \(C\left( x \right)\) có hệ số cao nhất là \(1\); hệ số tự do là \(7\) và bậc là \(3\).

c) Ta có: \(C\left( 2 \right) = {2^3} - 2 + {2.2^2} + 7 = 21\).

\(C\left( 1 \right) = {1^3} - 1 + {2.1^2} + 7 = 9\)

\(C\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^3} - \left( { - 1} \right) + 2.{\left( { - 1} \right)^2} + 7 = 9\).

d) Ta có: \(D\left( x \right) - x + 2{x^2} - 1 = C\left( x \right)\) nên \(D\left( x \right) = C\left( x \right) + x - 2{x^2} + 1\)

Do đó, \(D\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x + 7 + x - 2{x^2} + 1 = {x^3} + 8\).

3.2. Ta có: \(G = {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^4} - 2025\)

Nhận thấy \({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\); \({\left( {y - 2} \right)^2} \ge 0\) và \({\left( {z + 3} \right)^4} \ge 0\).

Do đó, \({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^4} \ge 0\) nên \({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^4} - 2025 \ge - 2015\).

Dấu “=” xảy ra khi \({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} = 0;{\rm{ }}{\left( {y - 2} \right)^2} = 0;{\rm{ }}{\left( {z + 3} \right)^4} = 0\) hay \(x = \frac{1}{2};y = 2;z = 3\).

Vậy GTNN của \(G = - 2025\) khi \(x = \frac{1}{2};y = 2;z = 3\).