(1,5 điểm) Tìm \(x,y,z\) trong các tỉ lệ thức sau:

a)\(\frac{x}{{3,2}} = \frac{{2,5}}{{7,2}};\)

b) \(\frac{x}{3} = \frac{y}{5}\) và \(x + y = - 32;\)

c) \(\frac{x}{4} = \frac{y}{3} = \frac{z}{2}\) và \(x + y + z = 27.\)

Gọi độ dài ba cạnh của tam giác lần lượt là \(a,b,c\) và chiều cao tương ứng là \(x,y,z\).

Điều kiện: \(a,b,c,x,y,z > 0\). Tam giác có diện tích là \(S\).

Theo đề, ta có độ dài ba cạnh tỉ lệ với \(2:3:5\) nên \(\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{5}\) (1)

Có \(S = \frac{1}{2}ax = \frac{1}{2}by = \frac{1}{2}cz\) suy ra \(a = & \frac{{2S}}{x};b = \frac{{2S}}{y};c = \frac{{2S}}{z}\) nên \(\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{5} = \frac{{2S}}{{2x}} = \frac{{2S}}{{3y}} = \frac{{2S}}{{5z}}\) hay \(2x = 3y = 5z\).

Do đó, \(\frac{x}{{\frac{1}{2}}} = \frac{y}{{\frac{1}{3}}} = \frac{z}{{\frac{1}{5}}}\).

Vậy nên chiều cao tương ứng của ba cạnh trong tam giác thỏa mãn bài toán lần lượt tỉ lệ với \(\frac{1}{2};\frac{1}{3};\frac{1}{5}.\)

Hướng dẫn giải

4.1. Xét \(\Delta DBC\), có \(\widehat B < \widehat C{\rm{ }}\left( {50^\circ < 65^\circ } \right)\).

Do đó, \(BD > DC\) (quan hệ giữa góc và cạnh trong tam giác)

Vậy bạn Hòa nên xuống đi bộ ở điểm dừng \(B\) để quãng đường đi bộ đến trường là ngắn nhất.

4.2. a) Ta có \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) và \(AH \bot BC\) tại \(H\) nên \(AH\) vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\).

b) Ta có \(BM \bot AC{\rm{ }}\left( {M \in AC} \right)\) nên \(\Delta BMC\) vuông tại \(M\), có \(BC\) là cạnh huyền.

Do đó, \(BM < BC\) (quan hệ giữa các cạnh trong tam giác)

Xét \(\Delta BMA\) vuông tại \(M\) có \(AB\) là cạnh huyền.

Do đó, \(BM < AB\) (1)

Lại có, tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nên \(AB = AC\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(MB < AC\).

c) Xét \(\Delta KBC\) và \(\Delta MCB\) có:

\(BC\): chung (gt)

\(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (tam giác \(ABC\) cân)

\(\widehat {BKC} = \widehat {BMC} = 90^\circ \) (gt)

Suy ra \(\Delta KBC = \Delta MCB\) (ch – gn)

Suy ra \(KB = MC\) (hai cạnh tương ứng).

Lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB = AK + KB\\AC = AM + MC\end{array} \right.\). Mà \(KB = MC\) (cmt)

Suy ra \(AK = AM\).

Xét \(\Delta KAI\) và \(\Delta MAI\), có:

\(AI\) chung (gt)

\(AK = AM\) (cmt)

\(\widehat {AKI} = \widehat {AMI} = 90^\circ \) (gt)

Suy ra \(\Delta KAI = \Delta MAI\) (ch – cgv)

Suy ra \(KI = MI\) (hai cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta KIB\) và \(\Delta MIC\) có:

\(\widehat {IKB} = \widehat {IMC} = 90^\circ \)

\(IK = IM\) (cmt)

\(KB = MC\) (cmt)

Suy ra \(\Delta KIB = \Delta MIC\) (2cgv)

Suy ra \(\widehat {KIB} = \widehat {MIC}\) (hai góc tương ứng)

Mà hai góc ở vị trí đối đỉnh.

Suy ra \(K,I,C\) thẳng hàng.