Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. Cạnh bên SA ^ (ABCD), AD = 2a, SA = AB = BC = a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng SB.
a) CD ^ (SAC).
b) Gọi α là góc nhị diện [A, SD, C] thì \(\tan \alpha = \sqrt 5 \).
c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD bằng \(a\sqrt 3 \).
d) Thể tích của khối chóp MBCD bằng \(\frac{{{a^3}}}{{12}}\).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. Cạnh bên SA ^ (ABCD), AD = 2a, SA = AB = BC = a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng SB.
a) CD ^ (SAC).
b) Gọi α là góc nhị diện [A, SD, C] thì \(\tan \alpha = \sqrt 5 \).
c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD bằng \(a\sqrt 3 \).
d) Thể tích của khối chóp MBCD bằng \(\frac{{{a^3}}}{{12}}\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Có SA ^ (ABCD) Þ SA ^ CD.
Gọi I là trung điểm AD. Tứ giác ABCI là hình vuông nên \(\widehat {ACI} = 45^\circ \).
Mặt khác DCID là tam giác vuông cân tại I nên \(\widehat {ICD} = 45^\circ \).
Suy ra \(\widehat {DCA} = 90^\circ \Rightarrow CD \bot AC\) mà SA ^ CD nên CD ^ (SAC).
b) Có SA ^ CI (do SA ^ (ABCD)) và CI ^ AD Þ CI ^ (SAD) Þ CI ^ SD.
Kẻ IK ^ SD mà CI ^ SD nên SD ^ (CIK).
Suy ra góc nhị diện [A, SD, C] là \(\widehat {CKI} = \alpha \).
Xét tam giác CKI vuông tại I có IC = a, \(IK = ID\sin D = ID.\frac{{SA}}{{SD}} = a.\frac{a}{{a\sqrt 5 }} = \frac{{a\sqrt 5 }}{5}\).
Suy ra \(\tan \alpha = \frac{{IC}}{{IK}} = \sqrt 5 \).
c) Ta có BIDC là hình bình hành nên BI // CD.
Suy ra d(SB, CD) = d(CD, (SBI)) = d(C, (SBI)) = d(A, (SBI)).
Kẻ AH ^ SO mà BI ^ (SAC) nên AH ^ (SBI).
Suy ra \(d\left( {A,\left( {SBI} \right)} \right) = AH = \frac{{SA.AO}}{{\sqrt {S{A^2} + A{O^2}} }} = \frac{{a.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
d) Ta có \({S_{\Delta BCD}} = \frac{1}{2}.BC.AB = \frac{1}{2}{a^2}\).
mặt khác, M là trung điểm của đoạn thẳng SB nên suy ra:\(d\left( {M,\left( {ABCD} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right) = \frac{a}{2}\).
Do đó \({V_{M.BCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}}}{2}.\frac{a}{2} = \frac{{{a^3}}}{{12}}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
D
Có BC ^ SA (do SA ^ (ABCD)) và BC ^ AB (do ABCD là hình vuông).
Suy ra BC ^ (SAB) Þ BC ^ SB.
Nên ((SBC), (ABCD)) = (SB, AB) = \(\widehat {SBA}\).
Xét DSAB vuông tại A, có \(\tan \widehat {SBA} = \frac{{SA}}{{AB}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{3a}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow \widehat {SBA} = 30^\circ \).
Câu 2
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
A
![Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA ^ (ABC), \(SA = a\sqrt 3 \), đáy là tam giác đều cạnh 2a. Tính góc phẳng nhị diện [S, BC, A]. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/a-1751874365.png)
Gọi M là trung điểm của cạnh BC Þ AM ^ BC, \(AM = a\sqrt 3 \).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AM\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow SM \bot BC.\)
Có SM ^ BC, mặt khác AM ^ BC suy ra \(\widehat {SMA}\) là góc phẳng nhị diện [S, BC, A].
Xét DSAM vuông tại A, ta có:
\(\tan \widehat {SMA} = \frac{{SA}}{{AM}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{a\sqrt 3 }} = 1 \Rightarrow \widehat {SMA} = 45^\circ \).
Câu 3
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập