Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh bằng a. Khi đó:

a) Khoảng cách từ A' đến (ABC) bằng a.

b) Khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng AC bằng BC.

c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BC bằng \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

d) Khoảng cách từ điểm A đến (A'BC) bằng \(\frac{{a\sqrt {21} }}{3}\).

a) Ta có AA' ^ (ABC) Þ d(A', (ABC)) = AA' = a.

b) Do tam giác ABC đều nên BC không vuông góc với AC.

c) Gọi M là trung điểm của BC.

Do ABC là tam giác đều cạnh a nên ta có \(AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) và AM ^ BC (1).

Mặt khác ta lại có ABC.A'B'C' là lăng trụ đều nên AA' ^ (ABC) Þ AA' ^ AM (2).

Từ (1) và (2) ta có AM là đoạn vuông góc chung của AA' và BC.

Vậy \(d\left( {AA',BC} \right) = AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

d) Gọi M là trung điểm của BC. Kẻ AH ^ A'M (1).

Ta có BC ^ AM và BC ^ AA' Þ BC ^ (A'AM) Þ AH ^ BC (2).

Từ (1) và (2) suy ra AH ^ (A'BC) Þ d(A, (A'BC)) = AH.

Ta có \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A'{A^2}}} + \frac{1}{{A{M^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{\frac{{3{a^2}}}{4}}} \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\).

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;    c) Đúng;    d) Sai.