Tính giới hạn \[I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arctan \left( {{x^2} + 4x} \right) + \ln \left( {1 + 3\tan x} \right) - {x^2}}}{{\arctan \left( {4x} \right) + \cos 2x - {e^x}}}\]

Một xí nghiệp sản xuất độc quyển một loại sản phẩm. Biết hàm cầu \[{Q_D} = 656 - \frac{1}{2}P\left( P \right)\] là đơn giá và hàm tổng chi phí là \[C = {Q^3} - 77.{Q^2} + 1000Q + 4000\] (Q là sản lượng). Xác định mức sản lượng Q để xí nghiệp đạt lợi nhuận tối đa?

Khi bơm không khí vào trong 1 quả bóng hình cầu đến lúc bán kính hình cầu là 2 cm thì người ta bắt đầu điều chỉnh để tốc độ bơm bóng là 8 cm³/s. Tính tốc độ tăng tương ứng của bán kính hình cầu.

Cho biết hàm cung và hàm cầu của một loại sản phẩm trong thị trường nội địa lần lượt là 𝑄_S = 𝑃 − 200 và 𝑄_D = 4200 − 𝑃 (𝑃 là đơn giá). Biết rằng giá bán của loại sản phẩm đó trên thị trường quốc tế trừ chi phí xuất khẩu (nhưng chưa trừ thuế) là 𝑃₁ = 3200. Một công ty được độc quyền xuất khẩu loại sản phẩm trên. Hãy xác định mức thuế xuất khẩu t trên một đơn vị sản phẩm để thu được từ công ty nhiều thuế nhất.

Tính giới hạn \[I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - {e^{ - x}} - 2x}}{{x - \sin x}}\]

Một hình trụ có tổng chu vi một đáy và chiều cao là 30 𝑐𝑚. Với bán kính nào thì hình trụ có thể tích lớn nhất?

Tập xác định của hàm số \[f\left( x \right) = \sin \left( {\arccos \frac{x}{{{x^2} + 1}}} \right)\]