Tìm \[\alpha ;\beta \in \mathbb{R}\] để hàm số sau \[y = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\alpha x + \beta ,x \le 1}\\{{x^2} + x,x > 1}\end{array}} \right.\] có các tiếp tuyến trái và phải tại x = 1 trùng nhau.

Tìm chiều dài 𝐿 bé nhất của cái thang để có thể tựa vào tường và mặt đất, ngang qua cột đỡ có chiều cao \[3\sqrt 3 \left( m \right)\]và cách tường 𝑑 = 1 (𝑚) kể từ tim cột đỡ?

Hằng ngày mực nước con kênh lên xuống theo thủy triều, độ sâu ℎ (𝑚) trong kênh tính theo thời gian 𝑡 (ℎ) trong ngày cho bởi công thức \[h = 3\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + \frac{\pi }{3}} \right) + 12\]. Khi nào thì mực nước con kênh là cao nhất với thời gian ngắn nhất?

Tìm khai triển Taylor đến cấp 4 của hàm số \[f\left( x \right) = {e^{{x^2} + 2x - 1}}\] với x₀ = - 1.

Khi \[x \to + \infty \], sắp xếp theo thứ tự tăng dần tốc độ chạy ra vô cùng của các hàm sau:

\[\alpha \left( x \right) = x\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - 2x} \right),\beta \left( x \right) = \ln \left( {{x^2} - x + 2019} \right),\delta \left( x \right) = \sqrt[3]{{{x^4} + {x^2} + \sin {x^2}}} - \sqrt[3]{{{x^2} + 1}}\]

Cho hàm số \[g\left( x \right) = {e^x} + \arctan x\]. Tính \[\left( {{f^{ - 1}}} \right)\left( x \right)\]

Khi \[x \to 0\], sắp xếp các VCB sau theo thứ tự bậc giảm dần:

\[\alpha \left( x \right) = \sin {x^2} - x\ln \left( {1 + x} \right),\beta \left( x \right)\frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 1}} + {x^2},\chi \left( x \right) = \sqrt[3]{{1 + 2x}} - {e^{2x}}\]

Biết \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = 1,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g\left( x \right) = \infty \] và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g\left( x \right)\left( {f\left( x \right) - 1} \right) = 2019\]. Tính \[I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f{\left( x \right)^{g\left( x \right)}}\].