Cho hàm số \[y = \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{1 + x}}{{1 - x}}} \right|\]. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Tìm khai triển Taylor đến cấp 4 của hàm số \[f\left( x \right) = {e^{{x^2} + 2x - 1}}\] với x₀ = - 1.

Hằng ngày mực nước con kênh lên xuống theo thủy triều, độ sâu ℎ (𝑚) trong kênh tính theo thời gian 𝑡 (ℎ) trong ngày cho bởi công thức \[h = 3\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + \frac{\pi }{3}} \right) + 12\]. Khi nào thì mực nước con kênh là cao nhất với thời gian ngắn nhất?

Khi \[x \to + \infty \], sắp xếp theo thứ tự tăng dần tốc độ chạy ra vô cùng của các hàm sau:

\[\alpha \left( x \right) = x\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - 2x} \right),\beta \left( x \right) = \ln \left( {{x^2} - x + 2019} \right),\delta \left( x \right) = \sqrt[3]{{{x^4} + {x^2} + \sin {x^2}}} - \sqrt[3]{{{x^2} + 1}}\]

Biết \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = 1,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g\left( x \right) = \infty \] và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g\left( x \right)\left( {f\left( x \right) - 1} \right) = 2019\]. Tính \[I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f{\left( x \right)^{g\left( x \right)}}\].

Tìm khoảng lõm của đường cong \[f\left( x \right) = \ln x + \frac{{{x^2}}}{2}\]

Cho hàm số \[g\left( x \right) = {e^x} + \arctan x\]. Tính \[\left( {{f^{ - 1}}} \right)\left( x \right)\]

Tìm a để hàm số \[f\left( x \right) = x{\left( {1 + \frac{a}{x}} \right)^3}\] có một cực đại tại x = - 2.