Cho dãy số (u_n) biết \({u_n} = \frac{{n + 1}}{{3n - 2}}\). Số \(\frac{8}{{19}}\) là số hạng thứ mấy của dãy số?     

 a) Ta có \({u_{10}} = \frac{{2.10 - 13}}{{3.10 - 2}} = \frac{1}{4}\).

b) Ta có \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{2n - 11}}{{3n + 1}} - \frac{{2n - 13}}{{3n - 2}} = \frac{{35}}{{\left( {3n + 1} \right)\left( {3n - 2} \right)}} > 0\) với mọi n ³ 1.

suy ra un+1 > un, ∀n ³ 1 Þ dãy (un) là dãy tăng .

c) Dãy bị chặn dưới bởi \({u_1} = \frac{{2.1 - 13}}{{3.1 - 2}} =  - 11\).

Mặt khác \({u_n} = \frac{2}{3} - \frac{{35}}{{3\left( {3n - 2} \right)}} \Rightarrow  - 11 \le {u_n} \le \frac{2}{3},\forall n \ge 1\).

Vậy dãy (un) là dãy bị chặn.

d) Dãy số bị chặn trên bởi \(\frac{2}{3}\).

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Đúng;   d) Sai.

Ta có \({u_n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}} = 1 - \frac{1}{{n + 1}}\).

Do đó 0 < un £ 1, ∀n ³ 1.

Vậy dãy số đã cho bị chặn.