Tọa độ giao điểm của \(\left( P \right)\,:\,y = {x^2} - 4x\) với đường thẳng \(d\,:\,y = - x - 2\) là

Gọi giá vé bán của nhà hát là \(x\) (\(0 < x < 40\)).

Khi đó số tiền giảm giá vé so với giá cũ 40 nghìn đồng là \(\left( {40 - x} \right)\) nghìn đồng.

Số người đến nhà hát tăng thêm mỗi ngày: \(\frac{{40 - x}}{{10}} \cdot 100 = 10\left( {40 - x} \right) = 400 - 10x\).

Số người đến nhà hát mỗi ngày: \(300 + 400 - 10x = 700 - 10x\).

Doanh thu từ tiền bán vé của nhà hát bằng \(f\left( x \right) = x\left( {700 - 10x} \right) =  - 10{x^2} + 700x\).

Hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm số bậc hai, đạt giá trị lớn nhất tại \(x =  - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{{700}}{{2 \cdot \left( { - 10} \right)}} = 35\).

Do đó để doanh thu từ tiền bán vé là lớn nhất thì giá vé của nhà hát là \(A = 35\) .        

Giá trị biểu thức \({A^2} + 2025 = {35^2} + 2025 = 3250\).

Đáp án: 3250.