Cho hàm số \(f(x) = 3{x^2}\) xác định trên \(\mathbb{R}\).
a) Chứng minh rằng \(F(x) = {x^3}\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(\mathbb{R}\).
b) Với \(C\) là hằng số tuỳ ý, hàm số \(H(x) = F(x) + C\) có là nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(\mathbb{R}\) không?
c) Giả sử \(G(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(\mathbb{R}\). Tìm đạo hàm của hàm số \(G(x) - F(x)\). Từ đó, có nhận xét gì về hàm số \(G(x) - F(x)\) ?
Cho hàm số \(f(x) = 3{x^2}\) xác định trên \(\mathbb{R}\).
a) Chứng minh rằng \(F(x) = {x^3}\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(\mathbb{R}\).
b) Với \(C\) là hằng số tuỳ ý, hàm số \(H(x) = F(x) + C\) có là nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(\mathbb{R}\) không?
c) Giả sử \(G(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(\mathbb{R}\). Tìm đạo hàm của hàm số \(G(x) - F(x)\). Từ đó, có nhận xét gì về hàm số \(G(x) - F(x)\) ?
Quảng cáo
Trả lời:
a) \({F^\prime }(x) = {\left( {{x^3}} \right)^\prime } = 3{x^2} = f(x)\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\), suy ra \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(\mathbb{R}\).
b) \({H^\prime }(x) = {(F(x) + C)^\prime } = {F^\prime }(x) + 0 = f(x)\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\), suy ra \(H(x)\) cũng là nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(\mathbb{R}\).
c) \({[G(x) - F(x)]^\prime } = {G^\prime }(x) - {F^\prime }(x) = f(x) - f(x) = 0\). Suy ra \(G(x) - F(x) = C\) ( \(C\) là hằng số ). Do đó, \(G(x) - H(x)\) là hàm hằng.
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025) ( 38.500₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Ta có: \({F^\prime }(x) = {x^2} - 2x,{G^\prime }(x) = {x^2} + 2x\).
Vì \({F^\prime }(x) = f(x)\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) nên hàm số \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(\mathbb{R}\).
Hàm số \(G(x)\) không là nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(\mathbb{R}\) vì với \(x = 1\), ta có
\({G^\prime }(1) = 3 \ne - 1 = f(1){\rm{. }}\)
Lời giải
a) Ta có \({F^\prime }(x) = {\left( {5x + {x^2}} \right)^\prime } = 5 + 2x = f(x)\) với mọi \(x\) thuộc \(\mathbb{R}\).
Vậy \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên \(\mathbb{R}\).
b) Ta có \({G^\prime }(x) = {(\tan x)^\prime } = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = g(x)\) với mọi \(x\) thuộc \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\).
Vậy \(G(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(g(x)\) trên \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\).
c) \(F'\left( x \right) = \ln x + x{\left( {\ln x} \right)^\prime } = \ln x + 1 = f\left( x \right)\) với mọi \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\) nên hàm số \(F\left( x \right) = x\ln x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 1 + \ln x\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.