Câu hỏi:

21/07/2025 21 Lưu

 Chứng tỏ rằng:

a) \(\int k \;{\rm{d}}x = kx + C\) với \(k\) là hằng số thực;

b) \(\int k x\;{\rm{d}}x = \frac{k}{2}{x^2} + C\) với \(k\) là hằng số thực khác không.

c) \(\int k {x^2}\;{\rm{d}}x = \frac{k}{3}{x^3} + C(k \ne 0){\rm{. }}\)

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

a) \({\mathop{\rm Do}\nolimits} {(kx)^\prime } = k\) nên \(kx\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = k\) trên \(\mathbb{R}\). Vậy \(\int k \;{\rm{d}}x = kx + C\).

b) Do \({\left( {\frac{k}{2}{x^2}} \right)^\prime } = kx\) nên \(\frac{k}{2}{x^2}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = kx\) trên \(\mathbb{R}\).

Vậy \(\int k x\;{\rm{d}}x = \frac{k}{2}{x^2} + C(k \ne 0)\).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Ta có: \({F^\prime }(x) = {x^2} - 2x,{G^\prime }(x) = {x^2} + 2x\).

Vì \({F^\prime }(x) = f(x)\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) nên hàm số \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(\mathbb{R}\).

Hàm số \(G(x)\) không là nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(\mathbb{R}\) vì với \(x = 1\), ta có

\({G^\prime }(1) = 3 \ne  - 1 = f(1){\rm{. }}\)

Lời giải

a) Ta có \({F^\prime }(x) = {\left( {5x + {x^2}} \right)^\prime } = 5 + 2x = f(x)\) với mọi \(x\) thuộc \(\mathbb{R}\).

Vậy \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên \(\mathbb{R}\).

b) Ta có \({G^\prime }(x) = {(\tan x)^\prime } = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = g(x)\) với mọi \(x\) thuộc \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\).

Vậy \(G(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(g(x)\) trên \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\).

c) \(F'\left( x \right) = \ln x + x{\left( {\ln x} \right)^\prime } = \ln x + 1 = f\left( x \right)\) với mọi \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\) nên hàm số \(F\left( x \right) = x\ln x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 1 + \ln x\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP