Tính đạo hàm của hàm số \(F(x) = x{e^x}\), suy ra nguyên hàm của hàm số \(f(x) = (x + 1){e^x}\).

Chứng minh rằng:

a) \(F(x) = 5x + {x^2}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 5 + 2x\) trên \(\mathbb{R}\).

b) \(G(x) = \tan x\) là một nguyên hàm của hàm số \(g(x) = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\) trên \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\).

c) Chứng minh rằng \(F\left( x \right) = x\ln x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 1 + \ln x\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

 Cho hàm số \(f(x) = {x^2} - 2x\). Trong các hàm số cho dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên \(\mathbb{R}\) ?

a) \(F(x) = \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2}\);                           b) \(G(x) = \frac{{{x^3}}}{3} + {x^2}\).

Trong mỗi trường hợp sau, hàm số \(F(x)\) có là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên khoảng tương ứng không? Vi sao?

a) \(F(x) = x\ln x\) và \(f(x) = 1 + \ln x\) trên khoảng \((0; + \infty )\);

b) \(F(x) = {e^{\sin x}}\) và \(f(x) = {e^{\\((0; + \infty )\)cos x}}\) trên \(\mathbb{R}\).

 Chứng tỏ rằng:

a) \(\int k \;{\rm{d}}x = kx + C\) với \(k\) là hằng số thực;

b) \(\int k x\;{\rm{d}}x = \frac{k}{2}{x^2} + C\) với \(k\) là hằng số thực khác không.

 Cho hàm số \(f(x) = 3{x^2}\) xác định trên \(\mathbb{R}\).

a) Chứng minh rằng \(F(x) = {x^3}\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(\mathbb{R}\).

b) Với \(C\) là hằng số tuỳ ý, hàm số \(H(x) = F(x) + C\) có là nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(\mathbb{R}\) không?

c) Giả sử \(G(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(\mathbb{R}\). Tìm đạo hàm của hàm số \(G(x) - F(x)\). Từ đó, có nhận xét gì về hàm số \(G(x) - F(x)\) ?

Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = x + \frac{1}{x}\) trên khoảng \((0; + \infty )\) ?

a) \(F(x) = \frac{1}{2}{x^2} + \ln x\);                 b) \(G(x) = \frac{{{x^2}}}{2} - \ln x\).