Cho hàm số \(y = \frac{{x - 3}}{{2x + 1}}\). Khi đó:

a) y' > 0, ∀x Î ℝ.

b) Đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm (0; 3).

c) y'(1) < y'(2).

d) Điểm M thuộc đồ thị (C) của hàm số \(y = \frac{{x - 3}}{{2x + 1}}\) có hoành độ x0 = 0. Khi đó, phương trình tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng x + 7y + 1 = 0.

a) Ta có \(y' = \frac{{{{\left( {x - 3} \right)}^\prime }.\left( {2x + 1} \right) - \left( {x - 3} \right).{{\left( {2x + 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}\)\( = \frac{{\left( {2x + 1} \right) - \left( {2x - 6} \right)}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}\)

\( = \frac{7}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in \mathbb{R}\).

b) Thay x = 0 vào hàm số ta được y = −3.

Vậy đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm (0; −3).

c) Ta có \(y'\left( 1 \right) = \frac{7}{{{{\left( {2.1 + 1} \right)}^2}}} = \frac{7}{9}\); \(y'\left( 2 \right) = \frac{7}{{{{\left( {2.2 + 1} \right)}^2}}} = \frac{7}{{25}}\).

Vì \(\frac{7}{9} > \frac{7}{{25}}\) nên y'(1) > y'(2).

d) Ta có M(0; −3).

Hệ số góc của tiếp tuyến là \(y'\left( 0 \right) = \frac{7}{{{{\left( {2.0 + 1} \right)}^2}}} = 7\).

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là y = 7x – 3.

Đường thẳng x + 7y + 1 = 0 Û \(y = - \frac{1}{7}x - 1\).

Vì \(7.\left( { - \frac{1}{7}} \right) = - 1\) nên hai đường thẳng y = 7x – 3 và x + 7y + 1 = 0.

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Sai;   d) Đúng.