Cho hình hộp chữ nhật OABC.O′A′B′C′ có cạnh OA = 4, OC = 6, OO′ = 3. Chọn hệ trục toạ độ Oxyz có gốc toạ độ O; các điểm A, C, O′ lần lượt nằm trên các tia Ox, Oy, Oz. Xác định toạ độ các điểm A, B, B′.

Ta cần tìm toạ độ các đỉnh \(O,C,{B^\prime },{C^\prime },{D^\prime }\).

- Toạ độ đỉnh \(O\) là \((0;0;0)\).

- Theo giả thiết, ta có \(\overrightarrow {OB}  = 2\vec i,\overrightarrow {OD}  = \vec j,\overrightarrow {O{O^\prime }}  = \vec k\).

Suy ra:

\(\overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OD}  = 2\vec i + \vec j;\overrightarrow {O{B^\prime }}  = \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {O{O^\prime }}  = 2\vec i + \vec k;\)

\(\overrightarrow {O{C^\prime }}  = \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OD}  + \overrightarrow {O{O^\prime }}  = 2\vec i + \vec j + \vec k;{\rm{ }}\overrightarrow {O{D^\prime }}  = \overrightarrow {OD}  + \overrightarrow {O{O^\prime }}  = \vec j + \vec k.\)

Vậy \(C(2;1;0),{B^\prime }(2;0;1),{C^\prime }(2;1;1),{D^\prime }(0;1;1)\).

Để tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} \), ta cần biểu diễn \(\overrightarrow {AB} \) theo ba vectơ \(\vec i,\vec j,\vec k\).

Do \(\overrightarrow {AB} \) cùng hướng với \(\vec i\) và \(|\overrightarrow {AB} | = AB = 8 = 8|\vec i|\) nên \(\overrightarrow {AB}  = 8\vec i\) hay \(\overrightarrow {AB}  = 8\vec i + 0\vec j + 0\vec k\).

Tương tự, ta cũng có: \(\overrightarrow {AD}  = 0\vec i + 6\vec j + 0\vec k,\overrightarrow {A{A^\prime }}  = 0\vec i + 0\vec j + 4\vec k\).

Trong hình bình hành ABCD, ta có: \(\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = 8\vec i + 6\vec j + 0\vec k\).

Trong hình bình hành \(A{A^\prime }{C^\prime }C\), ta có: \(\overrightarrow {A{C^\prime }}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {A{A^\prime }}  = 8\vec i + 6\vec j + 4\vec k\).

Suy ra \(\overrightarrow {AB}  = (8;0;0);\overrightarrow {AC}  = (8;6;0);\overrightarrow {A{C^\prime }}  = (8;6;4)\).

\({\rm{V`i   }}\overrightarrow {AM}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {A{C^\prime }}  + \overrightarrow {A{D^\prime }} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {A{C^\prime }}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {A{A^\prime }} } \right) = \frac{1}{2}(8\vec i + 6\vec j + 4\vec k + 6\vec j + 4\vec k) = 4\vec i + 6\vec j + 4\vec k\) \({\rm{n^e n }}\overrightarrow {AM}  = (4;6;4).\)