Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số $y=\frac{x^2+4}{x}$ .

Trả lời:………………………………

a) Tập xác định: $D=\mathrm{ℝ}$ .

Ta có: $y\text{'}=-3x^2+4x$ .

Nhận xét $y\text{'}=0\iff \left\{\begin{array}{l}x=0\\ x=\frac{4}{3}\end{array}\right.$

Ta có bảng biến thiên sau:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $\left(0;\frac{4}{3}\right)$  và nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;0\right)$  và $\left(\frac{4}{3};+\infty \right)$ .

b) Tập xác định: $D=\mathrm{ℝ}$.

Ta có: $y\text{'}=4x^3-4x$ .

Nhận xét $y\text{'}=0\iff \left\{\begin{array}{l}x=0\\ x=\pm 1\end{array}\right.$

Ta có bảng biến thiên sau:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-1;0\right)$  và $\left(1;+\infty \right)$  và nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;-1\right)$  và $\left(0;1\right)$ .

c) Tập xác định: $D=\mathrm{ℝ}\backslash \left\{2\right\}$ .

Ta có: $y\text{'}=\frac{5}{{\left(2-x\right)}^2}$ .

Nhận xét $y\text{'}>0$$\forall x\in D$

Ta có bảng biến thiên sau:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;2\right)$  và $\left(2;+\infty \right)$ .

d) Tập xác định: $D=\mathrm{ℝ} \backslash \left\{-1\right\}$ .

Ta có: $y\text{'}=\frac{\left(2x-2\right)\left(x+1\right)-x^2+2x}{{\left(x+1\right)}^2}=\frac{x^2+2x-2}{{\left(x+1\right)}^2}$ .

Nhận xét $y\text{'}=0\iff \left\{\begin{array}{l}x=-1+\sqrt{3}\\ x=-1-\sqrt{3}\end{array}\right.$ .

Ta có bảng biến thiên sau:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;-1-\sqrt{3}\right)$  và $\left(-1+\sqrt{3};+\infty \right)$  và nghịch biến trên khoảng $\left(-1-\sqrt{3};-1\right)$  và $\left(-1;-1+\sqrt{3}\right)$ .