Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho nửa hình tròn \(\left( C \right):\,{x^2} + {y^2} = 8,y \ge 0\). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn \(\left( C \right)\) là: \(S = \int\limits_0^{2\sqrt 2 } {\sqrt {8 - {x^2}} } dx\).

b- Đúng

b) Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn \(\left( C \right)\) quanh trục hoành là: \(V = \pi \int\limits_{ - 2\sqrt 2 }^{2\sqrt 2 } {{y^2}dx}  = \pi \int\limits_{ - 2\sqrt 2 }^{2\sqrt 2 } {\left( {8 - {x^2}} \right)dx} \).

c) Xét phương trình: \(y = 2 \Leftrightarrow \sqrt {8 - {x^2}}  = 2 \Leftrightarrow x =  \pm 2\).

Gọi \({S_1} = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {\sqrt {8 - {x^2}}  - 2} \right)} dx = 2\pi  - 4\), \({S_2} = \frac{1}{2}S - {S_1} = 2\pi  + 4 \Rightarrow {S_1} < {S_2}\).

d- Sai

d) Giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( C \right)\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 8\;\left( 1 \right)\\y = \frac{{{x^2}}}{2}\;\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Thay \(\left( 2 \right)\) vào \(\left( 1 \right)\) ta được: \({x^2} + \frac{{{x^4}}}{4} = 8 \Leftrightarrow {x^4} + 4{x^2} - 32 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 4\\{x^2} =  - 8\;\left( L \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow x =  \pm 2\)

Phần nhỏ giới hạn bởi các đường \(y = \frac{{{x^2}}}{2}\); \[y = \sqrt {8 - {x^2}} \]; \(x =  - 2\); \(x = 2\) nên ta có:

\({S_1} = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {\sqrt {8 - {x^2}}  - \frac{{{x^2}}}{2}} \right){\rm{d}}x}  = \underbrace {\int\limits_{ - 2}^2 {\left( {\sqrt {8 - {x^2}} } \right){\rm{d}}x} }_A - \underbrace {\int\limits_{ - 2}^2 {\frac{{{x^2}}}{2}{\rm{d}}x} }_B\)

Tính \(A = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {\sqrt {8 - {x^2}} } \right){\rm{d}}x} \)

Đặt \(x = 2\sqrt 2 \sin t \Rightarrow {\rm{d}}x = 2\sqrt 2 \cos t{\rm{d}}t\).

Đổi cận: \(x =  - 2 \Rightarrow t =  - \frac{\pi }{4}\); \(x = 2 \Rightarrow t = \frac{\pi }{4}\).

\[A = \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\sqrt {8 - 8{{\sin }^2}t} } .2\sqrt 2 \cos t{\rm{d}}t\]\[ = 8\int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {{{\cos }^2}t{\rm{d}}t} \]\[ = 4\int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\left( {1 + \cos 2t} \right){\rm{d}}t} \]\[ = \left. {4\left( {t + \frac{1}{2}\sin 2t} \right)} \right|_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}\]\[ = 2\pi  + 4\].

\(B = \int\limits_{ - 2}^2 {\frac{{{x^2}}}{2}{\rm{d}}x}  = \frac{8}{3}\).

\( \Rightarrow \)\({S_1} = 2\pi  + \frac{4}{3}\) \( \Rightarrow \)\({S_2} = \frac{1}{2}\pi {R^2} - {S_1} = 2\pi  - \frac{4}{3}\).

Vậy \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{3\pi  + 2}}{{3\pi  - 2}} \approx 1,5 > 1\).