Cho hình thoi \(ABCD\) có tâm \(I\). Xét các khẳng định sau:

a) \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {BC} \);

b) \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} \);

c) \(\overrightarrow {IA}  = \overrightarrow {ID} \);

d) \(\overrightarrow {IB}  = \overrightarrow {IA} \);

e) \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right|\);

f) \(2\left| {\overrightarrow {IA} } \right| = \left| {\overrightarrow {BD} } \right|\).

Hãy cho biết có bao nhiêu khẳng định đúng trong các khẳng định trên?

Ta có \(\vec u\) khác vectơ không và cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow {BD} \) nên \(\vec u\) là một trong hai vectơ \(\overrightarrow {BO} ,\overrightarrow {OD} \).

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác \(ABD\): \(B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} = 3 + 1 = 4 \Rightarrow BD = 2\).

Vì vậy \(\left| {\vec u} \right| = \left| {\overrightarrow {BO} } \right| = \left| {\overrightarrow {OD} } \right| = \frac{{BD}}{2} = 1\).

Đáp án: 1.

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), ta có:

\(AG = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3}\sqrt {A{B^2} - B{M^2}}  = \frac{2}{3}\sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{4}}  = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Suy ra \(MI = AG = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Khi đó, \(\left| {\overrightarrow {BI} } \right| = BI = \sqrt {B{M^2} + M{I^2}}  = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{3}}  = \frac{{a\sqrt {21} }}{6}\).

Vậy \(m = 21\).

Đáp án: 21.