10 Bài tập Cách tính tích vô hướng của hai vectơ (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Do ABCD là hình vuông nên BD vuông góc với AC $\Rightarrow \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=0$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Do ABCD là hình chữ nhật nên ta có: BC = AD = a, AB = CD = 2a

Xét tam giác ABC vuông tại B

Áp dụng định lí Pythagore ta có:

AC² = AB² + BC² = (2a)² + a² = 5a²

⇔ AC = a$\sqrt{5}$

$\Rightarrow AO=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}.a\sqrt{5}=\frac{a\sqrt{5}}{2}$

Ta có:

$\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AO}\right)=\widehat{BAO}=\widehat{BAC}$

Suy ra $\cos \widehat{BAO}=\cos \widehat{BAC}=\frac{AB}{AC}=\frac{2a}{a\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$

$\left|\overrightarrow{AB}\right|=AB=2a$

$\left|\overrightarrow{AO}\right|=AO=\frac{a\sqrt{5}}{2}$

Ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AO}=\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AO}\right|\cos \widehat{BAO}=2a.\frac{a\sqrt{5}}{2}.\frac{2}{\sqrt{5}}=2a^2$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Do tam giác ABC đều nên:

AH vừa là đường cao vừa là trung tuyến

$\Rightarrow BH=CH=\frac{BC}{2}=\frac{a}{2}$

Xét tam giác AHC vuông tại H

Áp dụng định lí Pythagore có:

AH² + CH² = AC² ⇔ AH²  = AC² – CH² = $a^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=\frac{3a^2}{4}\iff AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

$\left(\overrightarrow{AH},\overrightarrow{AC}\right)=\widehat{HAC}$; $\cos \widehat{HAC}=\frac{AH}{AC}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Ta có: $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{AC}=\left|\overrightarrow{AH}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|.\cos HAC=\frac{a\sqrt{3}}{2}.a.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{4}{a}^2$.