Bài tập Ứng dụng ba đường conic vào các bài toán thực tế (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Gọi $\left(H\right):\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{16}=1$ có a² = 25 và b² = 16.

Suy ra $c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{25+16}=\sqrt{41}$.

Ta tìm được một tiêu điểm của gương là $F_2\left(\sqrt{41};0\right)$ và đỉnh của gương là A₁(–5; 0).

Vậy khoảng cách từ tâm của máy ảnh tới đỉnh của gương là $F_2{A}_1=\sqrt{41}+5\approx 11,4.$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Gọi đường đi của con tàu là (H) thì (H) có phương trình dạng $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (a, b > 0).

Với giả thiết ta có các tiêu điểm của (H) là F₁(–150; 0) và F₂(150; 0), suy ra c = 150.

Giả sử vị trí con tàu hiện tại là M(x₀; 75) ∈ (H); theo giả thiết độ chênh lệch thời gian giữa các xung từ các trạm phát là 1 000 micro giây (0,001 giây), tức là ta có |MF₁ – MF₂| = 0,001.186 000 = 186 (dặm); tức là ta có 2a = 186 suy ra a = 93.

Do đó $b=\sqrt{c^2-a^2}=27\sqrt{19}.$

Phương trình (H) là: $\frac{x^2}{8649}-\frac{y^2}{13851}=1$.

Ta có M(x₀; 75) ∈ (H) $\iff \frac{x^2}{8649}-\frac{{75}^2}{13851}=1\iff \left[\begin{array}{l}x\approx 110,2789\\ x\approx -110,2789\end{array}\right.$.

Vậy hoành độ của con tàu gần bằng 110,2789.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Gọi đường đi của con tàu là (H) thì (H) có phương trình dạng $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (a, b > 0).

Với giả thiết ta có các tiêu điểm của (H) là F₁(–150; 0) và F₂(150; 0), suy ra c = 150.

Giả sử vị trí con tàu hiện tại là M(x₀; 75) ∈ (H); theo giả thiết độ chênh lệch thời gian giữa các xung từ các trạm phát là 1 000 micro giây (0,001 giây), tức là ta có |MF₁ – MF₂| = 0,001.186 000 = 186 (dặm); tức là ta có 2a = 186 suy ra a = 93.

Do đó $b=\sqrt{c^2-a^2}=27\sqrt{19}.$

Phương trình (H) là: $\frac{x^2}{8649}-\frac{y^2}{13851}=1$.

Trạm phát số 1 nằm tại tiêu điểm F₂(150; 0), vị trí khi con tàu vào bờ là đỉnh của (H) là A₂(93; 0).

Vậy khoảng cách từ vị trí tàu vào bờ đến trạm số 1 là: F₂A₂ = 150 – 93 = 57 (dặm).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta bắt đầu bằng cách đặt micro trong một hệ tọa độ vuông góc. Bởi vì  dặm bằng 5 280 feet nên ta đặt M₁ trên trục hoành cách gốc tọa độ 5280 feet về bên phải và đặt M₂ trên trục hoành cách gốc tọa độ 5 280 feet về bên trái như hình vẽ minh họa hai micro cách nhau 2 dặm.

Ta biết rằng M₂ nhận được âm thanh sau 4 giây so với M₁. Vì âm thanh di chuyển với tốc độ 1 100 feet/giây nên hiệu số khoảng cách từ P (nơi xảy ra vụ nổ) tới M₂ và từ P tới M₁ là 4 400 feet.

Tập tất cả các điểm P xảy ra vụ nổ thỏa mãn các điều kiện này là một hyperbol, với hai micro M₁ và M₂ là các tiêu điểm.

Như vậy, vị trí xảy ra vụ nổ nằm trên hyperbol có phương trình chuẩn là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$.

Ta cần xác định các hệ số a và b.

Ta có hiệu số khoảng cách giữa hai micro là 4 400 feet và được đặt bằng 2a, tức là 2a = 4 400 suy ra a = 2 200.

Ta có $\frac{x^2}{2{200}^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ hay $\frac{x^2}{4840000}-\frac{y^2}{b^2}=1$.

Ta lại có khoảng cách từ gốc O(0; 0) tới tiêu điểm M₂(–5 280; 0) hoặc M₁(5 280; 0) đều bằng 5 280. Do đó c = 5 280.

Sử dụng hệ thức $c^2=a^2+b^2\Rightarrow b=\sqrt{5{280}^2-2{200}^2}\approx 4800.$

Vậy a + b = 2 200 + 4 800 = 7 000.