Một vụ nổ được hai micro M1 và M2 cách nhau 2 dặm ghi lại (1 dặm bằng 5 280 feet). Micro M1 nhận được âm thanh trước 4 giây so với micro M2. Giả sử âm thanh di chuyển với tốc độ 1 100 feet/giây. Tập...

Câu hỏi:

06/12/2023 3,434

Một vụ nổ được hai micro M₁ và M₂ cách nhau 2 dặm ghi lại (1 dặm bằng 5 280 feet). Micro M₁ nhận được âm thanh trước 4 giây so với micro M₂. Giả sử âm thanh di chuyển với tốc độ 1 100 feet/giây. Tập tất cả các điểm P xảy ra vụ nổ thỏa mãn các điều kiện trên là một hypebol có phương trình dạng $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ , với hai micro M₁ và M₂ là các tiêu điểm. Khi đó a + b bằng bao nhiêu? (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị)

A. 2 200;

B. 4 800;

C. 5 280;

D. 7 000.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 10 Bài tập Ứng dụng ba đường conic vào các bài toán thực tế (có lời giải) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta bắt đầu bằng cách đặt micro trong một hệ tọa độ vuông góc. Bởi vì dặm bằng 5 280 feet nên ta đặt M₁ trên trục hoành cách gốc tọa độ 5280 feet về bên phải và đặt M₂ trên trục hoành cách gốc tọa độ 5 280 feet về bên trái như hình vẽ minh họa hai micro cách nhau 2 dặm.

Một vụ nổ được hai micro M1 và M2 cách nhau 2 dặm ghi lại ( dặm bằng 5 280 feet). Micro M1 nhận được (ảnh 1)

Ta biết rằng M₂ nhận được âm thanh sau 4 giây so với M₁. Vì âm thanh di chuyển với tốc độ 1 100 feet/giây nên hiệu số khoảng cách từ P (nơi xảy ra vụ nổ) tới M₂ và từ P tới M₁ là 4 400 feet.

Tập tất cả các điểm P xảy ra vụ nổ thỏa mãn các điều kiện này là một hyperbol, với hai micro M₁ và M₂ là các tiêu điểm.

Như vậy, vị trí xảy ra vụ nổ nằm trên hyperbol có phương trình chuẩn là $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ .

Ta cần xác định các hệ số a và b.

Ta có hiệu số khoảng cách giữa hai micro là 4 400 feet và được đặt bằng 2a, tức là 2a = 4 400 suy ra a = 2 200.

Ta có $\frac{x^{2}}{2 200^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ hay $\frac{x^{2}}{4 840 000} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ .

Ta lại có khoảng cách từ gốc O(0; 0) tới tiêu điểm M₂(–5 280; 0) hoặc M₁(5 280; 0) đều bằng 5 280. Do đó c = 5 280.

Sử dụng hệ thức $c^{2} = a^{2} + b^{2} \Rightarrow b = \sqrt{5 280^{2} - 2 200^{2}} \approx 4 800.$

Vậy a + b = 2 200 + 4 800 = 7 000.

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Để chụp toàn cảnh, ta có thể sử dụng một gương hypebol. Máy ảnh được hướng về phía đỉnh của gương và tâm quang học của máy ảnh được đặt tại một tiêu điểm của gương (hình vẽ).

Phương trình cho mặt cắt của gương là $\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ .

Khoảng cách từ quang tâm của máy ảnh đến đỉnh của gương (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất) là

A. 12,8;

B. 5;

C. 1,4;

D. 11,4.

Lời giải

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Để chụp toàn cảnh, ta có thể sử dụng một gương hypebol. Máy ảnh được hướng về phía đỉnh của gương và tâm quang (ảnh 2)

Gọi $(H) : \frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ có a² = 25 và b² = 16.

Suy ra $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41}$ .

Ta tìm được một tiêu điểm của gương là $F_{2} (\sqrt{41}; 0)$ và đỉnh của gương là A₁(–5; 0).

Vậy khoảng cách từ tâm của máy ảnh tới đỉnh của gương là $F_{2} A_{1} = \sqrt{41} + 5 \approx 11, 4.$

Câu 2

Điều hướng LORAN (điều hướng vô tuyến đường dài) cho máy bay và tàu thủy sử dụng các xung đồng bộ được truyền bởi các trạm phát đặt cách xa nhau. Các xung này di chuyển với tốc độ ánh sáng (186 000 dặm/giây). Sự chênh lệch về thời gian nhận được phản xạ của các xung này từ một máy bay hoặc tàu thủy là không đổi, nên máy bay hoặc con tàu sẽ nằm trên một hyperbol có các trạm phát là các tiêu điểm. Giả sử rằng hai trạm phát, cách nhau 300 dặm, được đặt trên một hệ tọa độ vuông góc tại các điểm có tọa độ (–150; 0) và (150; 0) và một con tàu đang đi trên một con đường là một nhánh của hypebol (xem hình vẽ).

Biết rằng độ chênh lệch thời gian giữa các xung từ các trạm phát với con tàu là 1 000 micro giây (0,001 giây). Khoảng cách giữa tàu và trạm phát số 1 khi tàu vào bờ là

A. 93;

B. 57;

C. 150;

D. 243.

Lời giải

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Điều hướng LORAN (điều hướng vô tuyến đường dài) cho máy bay và tàu thủy sử dụng các xung đồng bộ (ảnh 2)

Gọi đường đi của con tàu là (H) thì (H) có phương trình dạng $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a, b > 0).

Với giả thiết ta có các tiêu điểm của (H) là F₁(–150; 0) và F₂(150; 0), suy ra c = 150.

Giả sử vị trí con tàu hiện tại là M(x₀; 75) ∈ (H); theo giả thiết độ chênh lệch thời gian giữa các xung từ các trạm phát là 1 000 micro giây (0,001 giây), tức là ta có |MF₁ – MF₂| = 0,001.186 000 = 186 (dặm); tức là ta có 2a = 186 suy ra a = 93.

Do đó $b = \sqrt{c^{2} - a^{2}} = 27 \sqrt{19} .$

Phương trình (H) là: $\frac{x^{2}}{8 649} - \frac{y^{2}}{13 851} = 1$ .