10 Bài tập Tính độ dài của tổng và hiệu hai hay nhiều vectơ (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Áp dụng quy tắc hình bình hành, ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}\Rightarrow \left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right|=\left|\overrightarrow{AC}\right|=AC$.

Xét tam giác ADC vuông tại D (do ABCD là hình vuông) có:

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông ACD, ta có:

AC² = AD² + CD² = a² + a² = 2a²  ⇔ AC = $a\sqrt{2}$

Vậy $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right|=a\sqrt{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Vẽ hình bình hành ABEC, theo quy tắc hình bình hành, ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AE}$.

Do ABC là tam giác vuông cân cạnh AB = a nên ABEC là hình vuông cạnh a.

Xét tam giác ABE vuông tại B

Áp dụng định lý Pythagore ta có:

AE² = AB² + BE² = a² + a² = 2a²  ⇔ AE = $a\sqrt{2}$

Vậy $\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=a\sqrt{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Ta có: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}\Rightarrow \left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{CB}\right|=CB$.

Xét tam giác ABC vuông tại C

Áp dụng định lý Pythagore ta có:

AB² = BC² + CA²

Mà BC = CA nên BC² = CA² = $\frac{A{B}^2}{2}$=$\frac{{\left(\sqrt{2}\right)}^2}{2}$=1

⇔ CB = CA = 1

Vậy $\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|$ = 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Xét tam giác ABC vuông tại A

Áp dụng định lý Pythagore ta có:

BC² = AB² + AC² = 4² + 3² = 25 ⇔ BC = 5

Ta có: $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}\Rightarrow \left|\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{CB}\right|=CB=5$.

Vậy $\left|\overrightarrow{u}\right|=5$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Dựng hình bình hành ABDC.

Do tam giác ABC cân có: AB = AC = a nên ABDC là hình thoi cạnh a.

Gọi E là giao điểm hai đường chéo AD và BC của hình thoi.

Có $\widehat{BAC}=120°\Rightarrow \widehat{CAE}=60°$ (đường chéo của hình thoi cũng là tia phân giác của các góc ở đỉnh).

Xét tam giác AEC vuông tại E (do trong hình thoi, hai đường chéo vuông góc với nhau) có:

$\cos \widehat{CAE}=\frac{AE}{AC}\Rightarrow AE=AC.\cos \widehat{CAE}=a.cos60°=\frac{a}{2}$.

Lại có: AD = 2AE = $2.\frac{a}{2}=a$.

Theo quy tắc hình bình hành ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}\Rightarrow \left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{AD}\right|=AD=a$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Ta có: $\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CH}$

Dựng hình bình hành CAEH.

Do tam giác ABC đều nên AH vừa là trung tuyến vừa là đường cao.

Do đó, AH vuông góc với BC $\Rightarrow \widehat{AHB}=90°$.

Mà AE // CH (do CAEH là hình bình hành)

Do đó, AH vuông góc với AE $\Rightarrow \widehat{HAE}=90°$.

Vậy AEBH là hình chữ nhật.

Ta có: CH = BH = $\frac{BC}{2}=\frac{a}{2}$ .