Cho tam giác ABC đều cạnh a, H là trung điểm của BC. Tính $\left|\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{HC}\right|$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Ta có: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ (áp dụng quy tắc hình bình hành cho hình vuông ABCD).

Xét tam giác ADC vuông tại D

Áp dụng định lý Pythagore ta có:

AC² = AD² + DC² = (2a)² + (2a)² = 8a²  ⇒ AC = $2a\sqrt{2}$

Vậy $\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DA}\right|=2a\sqrt{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Dựng hình bình hành ABDC.

Do tam giác ABC cân có: AB = AC = a nên ABDC là hình thoi cạnh a.

Gọi E là giao điểm hai đường chéo AD và BC của hình thoi.

Có $\widehat{BAC}=120°\Rightarrow \widehat{CAE}=60°$ (đường chéo của hình thoi cũng là tia phân giác của các góc ở đỉnh).

Xét tam giác AEC vuông tại E (do trong hình thoi, hai đường chéo vuông góc với nhau) có:

$\cos \widehat{CAE}=\frac{AE}{AC}\Rightarrow AE=AC.\cos \widehat{CAE}=a.cos60°=\frac{a}{2}$.

Lại có: AD = 2AE = $2.\frac{a}{2}=a$.

Theo quy tắc hình bình hành ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}\Rightarrow \left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{AD}\right|=AD=a$.