Câu hỏi:

04/08/2025 12 Lưu

Cho \(\Delta ABC,E\) là trung điểm BC, I là trung điểm của AB. Gọi D, I, J, K lần lượt là các điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {BE} = 2\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {AJ} = \frac{1}{2}\overrightarrow {JC} ,\overrightarrow {IK} = m\overrightarrow {IJ} \). Tìm m để A, K, D thẳng hàng.

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Đáp án đúng là: B

Ta có A, K, D thẳng hàng \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AD}  = n\overrightarrow {AK}  = n\left( {\overrightarrow {AI}  + \overrightarrow {IK} } \right)\) (1)

Ta có \(\overrightarrow {BE}  = 2\overrightarrow {BD}  = 2\left( {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AD} } \right) = 2\overrightarrow {BA}  + 2\overrightarrow {AD} \).

Suy ra \(2\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BE}  - 2\overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AE}  - 2\overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AE} \)

        \( = \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{3}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \)

        \( = 3\overrightarrow {AI}  + \frac{3}{2}\overrightarrow {AJ}  = 3\overrightarrow {AI}  + \frac{3}{2}\left( {\overrightarrow {AI}  + \overrightarrow {IJ} } \right) = \frac{9}{2}\overrightarrow {AI}  + \frac{3}{2}\overrightarrow {IJ} \).

Mà \(\overrightarrow {IK}  = m\overrightarrow {IJ} \) nên \(2\overrightarrow {AD}  = \frac{9}{2}\overrightarrow {AI}  + \frac{3}{{2m}}\overrightarrow {IK}  \Rightarrow \overrightarrow {AD}  = \frac{9}{4}\overrightarrow {AI}  + \frac{3}{{4m}}\overrightarrow {IK} \) (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \frac{9}{4} = \frac{3}{{4m}} \Leftrightarrow m = \frac{1}{3}\).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

a) Đúng. Do \(M\) là trung điểm của \(AB\) nên ta có \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = \vec 0\).

b) Đúng. Do \(N\) là trung điểm của \(CD\) nên ta có \(\overrightarrow {NC}  + \overrightarrow {ND}  = \vec 0\).

c) Sai. Theo quy tắc cộng, ta có \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CN} \). (1)

d) Đúng. Ta lại có \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {DN} \). (2)

Cộng hai đẳng thức (1), (2) vế theo vế, ta được

\(2\overrightarrow {MN}  = \left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD} } \right) + \left( {\overrightarrow {CN}  + \overrightarrow {DN} } \right)\).

Kết hợp với kết quả ở ý a) và b), ta suy ra được \(2\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD} \).

Lời giải

c (ảnh 1)

a) Đúng. Xét tam giác \(ABD\) nội tiếp đường tròn đường kính \(AD\) nên \(AB \bot BD\); mặt khác \(AB \bot CH\) nên \(BD{\rm{//}}CH\) (1).

b) Đúng. Tương tự, tam giác \(ACD\) nội tiếp đường tròn đường kính \(AD\) nên \(AC \bot CD\); mặt khác \(AC \bot BH\) nên \(CD{\rm{//}}BH\) (2).

c) Sai. Từ (1) và (2) suy ra \(BDCH\) là hình bình hành.

Khi đó, \(\overrightarrow {HA}  + \overrightarrow {HB}  + \overrightarrow {HC}  = \overrightarrow {HA}  + \overrightarrow {HD}  = 2\overrightarrow {HO} \) (vì \(O\) là trung điểm \(AD\)).

d) Sai. Ta có \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OH}  + \overrightarrow {HA}  + \overrightarrow {OH}  + \overrightarrow {HB}  + \overrightarrow {OH}  + \overrightarrow {HC} \)      

 \( = 3\overrightarrow {OH}  + \left( {\overrightarrow {HA}  + \overrightarrow {HB}  + \overrightarrow {HC} } \right) = 3\overrightarrow {OH}  + 2\overrightarrow {HO}  = \overrightarrow {OH} {\rm{. }}\)

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP