Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 2a,AC = 3a,\,\widehat {BAC} = 60^\circ \). Gọi \(I\) là trung điểm đoạn thẳng \(BC\). Điểm \(J\) thuộc đoạn \(AC\) thỏa mãn \(12AJ = 7AC\).

a) \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  = 4{a^2}\).

b) \(\overrightarrow {AI}  = \frac{3}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{3}{2}\overrightarrow {AC} \).

c) \(\overrightarrow {BJ}  =  - \overrightarrow {AB}  + \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC} \).

d) \(AI \bot BJ\).

a) Sai. Ta có \(\overrightarrow {CM}  = \overrightarrow {BM}  - \overrightarrow {BC}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA}  - \overrightarrow {BC} \).

b) Sai. Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ACM\) nên

\(3\overrightarrow {BG}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BM}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {BA}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC}  = \frac{3}{2}\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC}  \Rightarrow \overrightarrow {BG}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} .\)

c) Đúng. Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(BA \bot BC\), suy ra \(\overrightarrow {BC}  \cdot \overrightarrow {BA}  = 0\).

d) Sai. Ta có \(\overrightarrow {BG}  \cdot \overrightarrow {CM}  = \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {BA}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} } \right) \cdot \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {BA}  - \overrightarrow {BC} } \right) = \frac{1}{4}{\overrightarrow {BA} ^2} - \frac{1}{3}\overrightarrow {BA}  \cdot \overrightarrow {BC}  - \frac{1}{3}{\overrightarrow {BC} ^2}\)

\( = \frac{1}{4} \cdot {\left( {4a} \right)^2} - \frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot {\left( {3a} \right)^2} = {a^2}.\) (\(BC = AD = 3a\)).

a) Sai. Người thứ nhất kéo một lực là \[40\sqrt 3 \,\,{\rm{(N)}} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = 40\sqrt 3 \], người thứ hai kéo một lực là \[80\,\,{\rm{(N)}} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 80\].

b) Đúng. Lực tổng hợp, hợp với phương ngang (mặt đường) một góc \(30^\circ \) và phương lực \(\overrightarrow {{F_2}} \) song song mặt đường nên \(\left( {\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow F } \right) = 30^\circ \).

c) Đúng. Ta có lực tổng hợp của hai người là \(\overrightarrow F  = \overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}} \).

Suy ra độ lớn của \(\overrightarrow F \) là: \(F = \sqrt {{F_1}^2 + {F_2}^2}  = 40\sqrt 7 \,{\rm{(N)}}\).

d) Đúng. Công sinh ra khi kéo vật là

\[A = \overrightarrow F  \cdot \overrightarrow d  = \left| {\overrightarrow F } \right| \cdot \left| {\overrightarrow d } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow F ,\overrightarrow d } \right) = 40\sqrt 7  \cdot 5 \cdot \cos 30^\circ  = 1000\sqrt {21} \,{\rm{(J)}} = a\sqrt b {\rm{(J)}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1000\\b = 21\end{array} \right.\].

Khi đó \(a + b = 1021\).