PHẦN II. TRẢ LỜI NGẮN

Cho hai tam giác ACD và BCD nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và AC = AD = BC = BD = \(\sqrt 2 \), \(CD = 2x\sqrt 2 \). Giá trị của x để hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) vuông góc với nhau là \(x = \frac{a}{b}\)(với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản). Tính giá trị của a2 + 2b.

Gọi I, J lần lượt là trung điểm AB, CD,

Vì J là trung điểm CD và AC = AD nên AJ ^ CD.

Mà (ACD) ^ (BCD) Þ AJ ^ (BCD).

Ta thấy DAJD vuông tại J nên \(AJ = \sqrt {2 - 2{x^2}} \).

Mà AC = AD = BC = BD = \(\sqrt 2 \) nên DAJB vuông cân tại J.

Suy ra \(AB = AJ\sqrt 2 = \sqrt {4\left( {1 - {x^2}} \right)} \).

Do IA = IB, DAJB vuông tại J nên \(IJ = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\sqrt {4\left( {1 - {x^2}} \right)} = \sqrt {1 - {x^2}} \).

Ta có CI và DI vuông góc với AB nên để (ABC) ^ (ABD) suy ra \(\widehat {CID} = 90^\circ \).

Ta có \(IJ = \frac{1}{2}CD \Leftrightarrow \sqrt {1 - {x^2}} = x\sqrt 2 \Leftrightarrow x = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

Suy ra a² + 2b = 9.

Trả lời: 9.