Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông, tam giác SAB vuông tại S và \(\widehat {SBA} = 30^\circ \). Mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm của AB. Tính 16cos2α trong đó α là góc tạo bởi hai đường thẳng (SM, BD).

Trong (SAB), kẻ SH ^ AB Þ SH ^ (ABCD).

Gọi K là trung điểm của AD mà MK // BD Þ (SM, BD) = (SM, MK).

Đặt AB = a (a > 0).

Vì DSAB vuông tại S nên \(SM = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}\).

Lại có SA = AB.sin30° = \(\frac{a}{2}\)Þ SA = SM Þ DSAM cân tại S.

Þ H là trung điểm của AM Þ \(HB = \frac{3}{4}AB = \frac{{3a}}{4}\).

Xét tam giác vuông SHB có SH = HB.tan30° \( = \frac{{3a}}{4}.\frac{{\sqrt 3 }}{3} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông AHK ta có:

\(HK = \sqrt {A{H^2} + A{K^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{a}{4}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{4}\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông SHK ta có:

\(SK = \sqrt {S{H^2} + H{K^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{4}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 5 }}{4}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Ta có MK là đường trung bình của DABD nên \(MK = \frac{1}{2}BD = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Áp dụng định lí cosin trong tam giác SMK có:

\(\cos \widehat {SMK} = \frac{{S{M^2} + M{K^2} - S{K^2}}}{{2SM.MK}} = \frac{{{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}}{{2.\frac{a}{2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\).

Suy ra 16cos²α = \(16.{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{4}} \right)^2} = 2\).

Trả lời: 2.