Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có (A'ABB') ^ (ABC), AA' = 2a, \(\widehat {A'AB} = 60^\circ \). Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A'B'C'). 

Vì SA ^ (ABCD) Þ SA ^ CB mà CB ^ AB nên CB ^ (SAB).

Do đó d(C, (SAB)) = CB = AD = 3a.

Kẻ AH ^ BC mà BC ^ SA (SA ^ (ABC)) Þ BC ^ (SAH).

Kẻ AK ^ SH mà BC ^ AK (do BC ^ (SAH)) Þ AK ^ (SBC).

Do đó d(A, (SBC)) = AK.

Xét DABC vuông tại A, đường cao AH có \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{3{a^2}}} = \frac{4}{{3{a^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Xét DSAH vuông tại A, AK là đường cao, ta có \(\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{4{a^2}}} + \frac{4}{{3{a^2}}} = \frac{{19}}{{12{a^2}}}\).

Suy ra \(AK = \frac{{2a\sqrt {57} }}{{19}}\).