Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có (A'ABB') ^ (ABC), AA' = 2a, \(\widehat {A'AB} = 60^\circ \). Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A'B'C'). 

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Vì AB // CD nên AB // (SCD).

Khi đó d(AB, CD) = d(AB, (SCD)) = d(A, (SCD)).

Lại có \(\frac{{d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right)}}{{d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right)}} = \frac{{CA}}{{CO}} = 2\).

Hạ OM ^ CD, OH ^ SM

Vì SO ^ (ABCD) Þ SO ^ CD mà OM ^ CD Þ CD ^ (SOM) Þ CD ^ OH.

Lại có OH ^ SM nên OH ^ (SCD). Do đó d(O, (SCD)) = OH.

Ta có \(OM = \frac{1}{2}AD = 1\), \(AC = 2\sqrt 2 \Rightarrow OC = \sqrt 2 \).

Xét DSOC vuông tại O, \(SO = \sqrt {S{C^2} - O{C^2}} = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} = \sqrt 6 \).

Xét DSOM vuông tại O, \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{M^2}}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{1} = \frac{7}{6}\)Þ \(OH = \frac{{\sqrt {42} }}{7}\).

Khi đó d(A, (SCD)) = \(2.\frac{{\sqrt {42} }}{7} \approx 1,9\).

Trả lời: 1,9.

Vì SA ^ (ABCD) Þ SA ^ CB mà CB ^ AB nên CB ^ (SAB).

Do đó d(C, (SAB)) = CB = AD = 3a.