PHẦN II. TRẢ LỜI NGẮN

Hình bên dưới minh họa hình ảnh một chiệc gậy dài 3m đặt dựa vào tường, góc nghiêng giữa chiếc gậy và mặt đất là 65°. Đầu trên của chiếc gậy đặt vào vị trí M của tường. Tính khoảng cách từ vị trí M đến mặt đất (làm tròn đến hàng phần mười của mét).

Ta có (ABC) // (A'B'C') nên d((ABC), (A'B'C')) = d(A', (ABC)).

Gọi H là hình chiếu của A' trên AB.

Vì (A'ABB') ^ (ABC), (A'ABB') Ç (ABC) = AB, A'H Ì (A'ABB') và A'H ^ AB nên A'H ^ (ABC).

Xét DA'AH vuông tại H có \[A'H = A'A\sin \widehat {A'AH} = 2a\sin 60^\circ = a\sqrt 3 \].

Suy ra d((ABC), (A'B'C')) = d(A', (ABC)) = A'H = \(a\sqrt 3 \).

a) Tam giác SAB đều nên SH ^ AB mà (SAB) ^ (ABCD) Þ SH ^ (ABCD).

Ta có AH Ç (SBD) = B \( \Rightarrow \frac{{d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right)}}{{d\left( {H,\left( {SBD} \right)} \right)}} = \frac{{AB}}{{HB}} = 2\).

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Kẻ HI ^ BD mà SH ^ BD (do SH ^ (ABCD)) Þ BD ^ (SHI).

Kẻ HK ^ SI mà BD ^ HK (do BD ^ (SHI)) nên HK ^ (SBD).

Do đó d(H, (SBD)) = HK.

Ta có HO là đường trung bình của D ABC Þ HO // BC và \(HO = \frac{{BC}}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Lại có BC ^ AB nên HO ^ AB.

Vì SAB là tam giác đều cạnh a nên \(HB = \frac{a}{2};SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Xét DOHB vuông tại H, ta có \(\frac{1}{{H{I^2}}} = \frac{1}{{H{O^2}}} + \frac{1}{{H{B^2}}} = \frac{4}{{3{a^2}}} + \frac{4}{{{a^2}}} = \frac{{16}}{{3{a^2}}}\) \( \Rightarrow HI = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\).

Xét DSHI vuông tại H có \(\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{I^2}}} = \frac{4}{{3{a^2}}} + \frac{{16}}{{3{a^2}}} = \frac{{20}}{{3{a^2}}}\) \( \Rightarrow HK = \frac{{a\sqrt {15} }}{{10}}\).

Suy ra d(A, (SBD)) \( = 2.\frac{{a\sqrt {15} }}{{10}} = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}\).

b) Gọi M là trung điểm của CD.

Vì ABCD là hình chữ nhật nên HM ^ CD mà SH ^ HM (do SH ^ (ABCD)).

Suy ra d(SH, CD) = HM = AD = \(a\sqrt 3 \).

c) Vì BC // AD nên BC // (SAD).

Suy ra d(BC, SD) = d(BC, (SAD)) = d(B, (SAD)) = 2d(H, (SAD)).

Có SH ^ AD và AD ^ AH nên AD ^ (SHA).

Kẻ HN ^ SA mà HN ^ AD (do AD ^ (SHA)) Þ HN ^ (SAD).

Do đó d(H, (SAD)) = HN.

Xét DSHA vuông tại H, HN là đường cao có:

\(\frac{1}{{H{N^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{H{A^2}}} = \frac{4}{{3{a^2}}} + \frac{4}{{{a^2}}} = \frac{{16}}{{3{a^2}}}\) \( \Rightarrow HN = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\).

Vậy d(B, (SAD)) = \(2.\frac{{a\sqrt 3 }}{4} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

d) Có AB // CD Þ CD // (SAB).

Do đó d(CD, SB) = d(CD, (SAB)) = d(C, (SAB)).

Có CB ^ AB mà CB ^ SH (do SH ^ (ABCD)) Þ CB ^ (SAB).

Do đó d(C, (SAB)) = CB = \(a\sqrt 3 \).

Đáp án: a) Sai;   b) Đúng;   c) Sai;   d) Đúng.