Câu hỏi:

10/08/2025 12

Kiểm tra tính song song hoặc trùng nhau của các cặp đường thẳng sau:

a) $d:\left\{ {\begin{array}{{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 2 + t}\\{z = 1 + 2t}\end{array}} \right.$ và ${d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{{20}{l}}{x = 2 + 2{t^\prime }}\\{y = 5 + 2{t^\prime }}\\{z = 1 + 4{t^\prime }}\end{array}} \right.$

b) $d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{2}$ và ${d^\prime }:\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y - 3}}{3} = \frac{{z - 3}}{6}$.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 25 bài tập Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng (có lời giải) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(1;2;1)$ và có vectơ chỉ phương $\vec a = (1;1;2)$.

Đường thẳng ${d^\prime }$ có vectơ chỉ phương ${\vec a^\prime } = (2;2;4) = 2\vec a$.

Thay toạ độ điểm $M$ vào phương trình của ${d^\prime }$, ta được:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 = 2 + 2{t^\prime }}\\{2 = 5 + 2{t^\prime }}\\{1 = 1 + 4{t^\prime }}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{t^\prime } = - \frac{1}{2}}\\{{t^\prime } = - \frac{3}{2}}\\{{t^\prime } = 0}\end{array}} \right.} \right.{\rm{ (vô nghiệm)}}{\rm{. }}$Suy ra $M$ không thuộc ${d^\prime }$. Vậy $d//{d^\prime }$.

b ) Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(1;2;1)$ và có vectơ chỉ phương $\vec a = (1;1;2)$.

Đường thẳng ${d^\prime }$ có vectơ chỉ phương ${\vec a^\prime } = (3;3;6) = 3\vec a$.

Thay toạ độ điểm $M$ vào phương trình của ${d^\prime }$, ta được: $\frac{{1 - 2}}{3} = \frac{{2 - 3}}{3} = \frac{{1 - 3}}{6}{\rm{. }}$

Phương trình nghiệm đúng, suy ra $M$ thuộc ${d^\prime }$. Vậy $d \equiv {d^\prime }$.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $Δ_{1} : \frac{x + 7}{5} = \frac{y - 1}{- 7} = \frac{z + 2}{- 2} v à Δ_{2} : \{\begin{cases} x = - 5 - 3 t \\ y = - 10 - 4 t \\ z = 3 + 7 t \end{cases} (t l à t h a m s ố)$

b) $Δ_{1} : \{\begin{array}{l} x = - 2 + 5 t \\ y = 1 - t \\ z = 3 t \end{array} (t l à t h a m s ố) v à Δ_{2} : \frac{x + 2}{4} = \frac{y - 1}{5} = \frac{z - 1}{- 6}$

c) $Δ_{1} : \frac{x}{3} = \frac{y + 5}{2} = \frac{z - 1}{- 3} v à Δ_{2} : \frac{x - 1}{- 6} = \frac{y - 3}{- 4} = \frac{z - 1}{6}$

Xem đáp án

Lời giải

a) Đường thẳng ${\Delta _1}$ đi qua điểm ${M_1}( - 7;1; - 2)$ và có ${\vec u_1} = (5; - 7; - 2)$ là vectơ chỉ phương.

Đường thẳng ${\Delta _2}$ đi qua điểm ${M_2}( - 5; - 10;3)$ và có ${\vec u_2} = ( - 3; - 4;7)$ là vectơ chi phương.

Ta có: $\frac{5}{{ - 3}} \ne \frac{{ - 7}}{{ - 4}}$, suy ra ${\vec u_1},{\vec u_2}$ không cùng phương;

$\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = (2; - 11;5),{\rm{ }}\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 7}&{ - 2}\\{ - 4}&7\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&5\\7&{ - 3}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}5&{ - 7}\\{ - 3}&{ - 4}\end{array}} \right|} \right) = ( - 57; - 29; - 41).$

Do $\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] \cdot \overrightarrow {{M_1}{M_2}} = ( - 57) \cdot 2 + ( - 29) \cdot ( - 11) + ( - 41) \cdot 5 = 0$ nên ${\vec u_1}$, ${\vec u_2}$, $\overrightarrow {{M_1}{M_2}} $ đồng phẳng.

Vậy ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ cắt nhau.

b) Đường thẳng ${\Delta _1}$ đi qua điểm ${M_1}( - 2;1;0)$ và có ${\vec u_1} = (5; - 1;3)$ là vectơ chỉ phương.

Đường thẳng ${\Delta _2}$ đi qua điểm ${M_2}( - 2;1;1)$ và có ${\vec u_2} = (4;5; - 6)$ là vectơ chỉ phương.

Ta có: $\frac{5}{4} \ne \frac{{ - 1}}{5}$, suy ra ${\vec u_1},{\vec u_2}$ không cùng phương;

$\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = (0;0;1),{\rm{ }}\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&3\\5&{ - 6}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&5\\{ - 6}&4\end{array}} \right|;{\rm{ }}\left| {{\mkern 1mu} \begin{array}{*{20}{c}}5&{ - 1}\\4&5\end{array}} \right|} \right) = ( - 9;42;29).$

Do $\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] \cdot \overrightarrow {{M_1}{M_2}} = ( - 9) \cdot 0 + 42 \cdot 0 + 29 \cdot 1 = 29 \ne 0$ nên ${\vec u_1},{\vec u_2},\overrightarrow {{M_1}{M_2}} $ không đồng phẳng.

Vậy ${\Delta _1},{\Delta _2}$ chéo nhau.

c) Đường thẳng ${\Delta _1}$ đi qua điểm ${M_1}(0; - 5;1)$ và có ${\vec u_1} = (3;2; - 3)$ là vectơ chỉ phương.

Đường thẳng ${\Delta _2}$ đi qua điểm ${M_2}(1;3;1)$ và có ${\vec u_2} = ( - 6; - 4;6)$ là vectơ chỉ phương.

Ta có: $ - 2{\vec u_1} = {\vec u_2}$, suy ra ${\vec u_1},{\vec u_2}$ cùng phương;

$\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = (1;8;0){\rm{ và }}\frac{3}{1} \ne \frac{2}{8}{\rm{ nên }}{\vec u_1},\overrightarrow {{M_1}{M_2}} {\rm{ không cùng phương}}{\rm{. }}$

Vậy ${\Delta _1}//{\Delta _2}$.

Câu 2

Kiểm tra tính song song hoặc trùng nhau của các cặp đường thẳng sau:

a) $d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 7 + 4t}\\{y = 3 - 2t}\\{z = 2 - 2t}\end{array}} \right.$ và d': $\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y - 5}}{{ - 1}} = \frac{{z - 4}}{{ - 1}}$;

b) $d:\frac{x}{3} = \frac{y}{3} = \frac{{z - 1}}{4}$ và d': $\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y - 9}}{3} = \frac{{z - 5}}{4}$.

Xem đáp án

Lời giải

a) Đường thẳng d đi qua ${\rm{M}}(7;3;2)$ và có vectơ chí phương $\vec a = (4; - 2; - 2)$

Đường thắng d' đi qua ${\rm{N}}(3;5;4)$ và có vectơ chí phương $\overrightarrow {{a^\prime }} = (2; - 1; - 1) = \frac{1}{2}\vec a$

Thay tọa độ điếm M vào phương trình đường thắng d' ta được

$\frac{{7 - 3}}{2} = \frac{{3 - 5}}{{ - 1}} = \frac{{2 - 4}}{{ - 1}}$ (luôn đúng). Suy ra điếm ${\rm{M}} \in {{\rm{d}}^\prime }$.

Vậy ${\rm{d}} \equiv d$ '.

b) Đường thắng d đi qua ${\rm{M}}(0;0;1)$ và có vectơ chỉ phương $\vec a = (3;3;4)$

Đường thẳng d' đi qua ${\rm{N}}(2;9;5)$ và có vectơ chí phương $\overrightarrow {{a^\prime }} = (3;3;4) = \vec a$

Thay tọa độ điếm M vào phương trình đường thắng ${{\rm{d}}^\prime }$ ta có:

$\frac{{0 - 2}}{3} = \frac{{0 - 9}}{3} = \frac{{1 - 5}}{4}$ (vô lí). Suy ra $M \notin {d^\prime }$.

Vậy d // d'.

Câu 3