Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng \(d\) và \({d^\prime }\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}\\{y = 1 + t}\\{z = 2 + t}\end{array}} \right.\) và \({d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2{t^\prime }}\\{y = 2 + 5{t^\prime }}\\{z = 3 + {t^\prime }}\end{array}} \right.\)

b) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 2 + t}\\{z = 3 + t}\end{array}} \right.\) và \({d^\prime }:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{5} = \frac{{z - 9}}{6}\).

a) \(d\) và \({d^\prime }\) có vectơ chi phương lần lượt là \(\vec a = (1;1;1)\) và \({\vec a^\prime } = (2;5;1)\).

Ta có \(\frac{1}{2} \ne \frac{1}{5}\), suy ra \(\vec a\) và \({\vec a^\prime }\) không cùng phương. Vậy \(d\) và \({d^\prime }\) hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau.

Xét hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 1 + 2{t^\prime }}\\{1 + t = 2 + 5{t^\prime }}\\{2 + t = 3 + {t^\prime }}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t - 2{t^\prime } = 1}\\{t - 5{t^\prime } = 1}\\{t - {t^\prime } = 1.}\end{array}} \right.} \right.\)

Từ (1) và (2) suy ra \(t = 1;{t^\prime } = 0\). Thay vào (3) ta thấy phương trình thoà mãn.

Vậy \(d\) cắt \({d^\prime }\) tại điềm \(M(1;2;3)\).

b) \(d\) và \({d^\prime }\) có vectơ chi phương lần lượt là \(\vec a = (1;1;1)\) và \({\vec a^\prime } = (2;5;6)\).

Ta co \(\frac{1}{2} \ne \frac{1}{5}\), suy ra \(\vec a\) và \({\vec a^\prime }\) không cùng phương. Vậy \(d\) và \({d^\prime }\) hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau. \({d^\prime }\) có phương trình tham số là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2{t^\prime }}\\{y = 2 + 5{t^\prime }}\\{z = 9 + 6{t^\prime }}\end{array}} \right.\)

Xét hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 + t = 1 + 2{t^\prime }}\\{2 + t = 2 + 5{t^\prime }}\\{3 + t = 9 + 6{t^\prime }}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t - 2{t^\prime } = 0}\\{t - 5{t^\prime } = 0}\\{t - 6{t^\prime } = 6.}\end{array}} \right.} \right.\)

Từ (1) và (2) suy ra \(t = 0;{t^\prime } = 0\). Thay vào (3) ta thấy phương trình không thoȧ mãn \((0 \ne 6)\). Vậy \(d\) và \({d^\prime }\) chéo nhau.