Trong không gian Oxyz, chứng minh rằng hai đường thẳng sau vuông góc với nhau:
\({\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = - 1 - 3t,{\Delta _2}}\\{z = 2 - t}\end{array}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + s}\\{y = 1 - 2s}\\{z = 3 + 8s.}\end{array}} \right.} \right.\)
Trong không gian Oxyz, chứng minh rằng hai đường thẳng sau vuông góc với nhau:
\({\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = - 1 - 3t,{\Delta _2}}\\{z = 2 - t}\end{array}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + s}\\{y = 1 - 2s}\\{z = 3 + 8s.}\end{array}} \right.} \right.\)
Quảng cáo
Trả lời:

Các đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) tương ứng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = (2; - 3; - 1),\overrightarrow {{u_2}} = (1; - 2;8)\).
Do \(\overrightarrow {{u_1}} \cdot \overrightarrow {{u_2}} = 2 \cdot 1 + ( - 3) \cdot ( - 2) + ( - 1) \cdot 8 = 0\) nên \({\Delta _1} \bot {\Delta _2}\).
Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) Ta có các vectơ chỉ phương của \(d\) và \({d^\prime }\) lân lượt là \(\vec a = (1;2; - 1)\) và \(\overrightarrow {{a^\prime }} = (2;4; - 2)\). \({\rm{Vi}}\overrightarrow {{a^\prime }} = 2\vec a\) nên \(\vec a\) và \(\overrightarrow {{a^\prime }} \) cùng phương. Từ đó suy ra \(d\) và \({d^\prime }\) song song với nhau hoặc trùng nhau.
Xét điểm \(M(1;0;3) \in d\), ta có \(M \notin {d^\prime }\) nên \(d//{d^\prime }\).
b) Ta có \(d\) và \({d^\prime }\) lản lượt nhận \(\vec a = (2;3;1)\) và \(\overrightarrow {{a^\prime }} = (3;2;2)\) là các vectơ chỉ phương. Vi \(\vec a\) và \(\overrightarrow {{a^\prime }} \) không cùng phương nên \(d\) và \({d^\prime }\) cắt nhau hoặc chéo nhau. \({d^\prime }\) đi qua \(M(1; - 2; - 1)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a^\prime }} = (3;2;2)\) nên có phương trình tham số là:
\({d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 3{t^\prime }}\\{y = - 2 + 2{t^\prime }\left( {{t^\prime } \in \mathbb{R}} \right).}\\{z = - 1 + 2{t^\prime }}\end{array}} \right.\)\({t^\prime } = - \frac{2}{5}\), thay vào (3), ta thấy \(t\) và \({t^\prime }\) không thoả mãn (3).
Ta suy ra hệ phương trình trên vô nghiệm. Vậy hai đường thẳng \(d\) và \({d^\prime }\) chéo nhau.
c) Ta có: \(d\) đi qua \(M(0;1;0)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec a = (1; - 1;2)\); \({d^\prime }\) đi qua \({M^\prime }(1;2; - 2)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a^\prime }} = (5;1; - 2)\).
Nên phương trình tham số của \(d\) và \({d^\prime }\) lẩn lượt là:
Xét hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 1 + 5{t^\prime }}\\{1 - t = 2 + {t^\prime }}\\{2t = - 2 - 2{t^\prime }}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t - 5{t^\prime } = 1}\\{ - t - {t^\prime } = 1}\\{2t + 2{t^\prime } = - 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = - \frac{2}{3}}\\{{t^\prime } = - \frac{1}{3}}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)
Hệ phương trình trên có đúng một nghiệm, nên \(d\) và \({d^\prime }\) cắt nhau.
Lời giải
a) Đường thẳng \({\Delta _1}\) đi qua điểm \({M_1}( - 7;1; - 2)\) và có \({\vec u_1} = (5; - 7; - 2)\) là vectơ chỉ phương.
Đường thẳng \({\Delta _2}\) đi qua điểm \({M_2}( - 5; - 10;3)\) và có \({\vec u_2} = ( - 3; - 4;7)\) là vectơ chi phương.
Ta có: \(\frac{5}{{ - 3}} \ne \frac{{ - 7}}{{ - 4}}\), suy ra \({\vec u_1},{\vec u_2}\) không cùng phương;
\(\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = (2; - 11;5),{\rm{ }}\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 7}&{ - 2}\\{ - 4}&7\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&5\\7&{ - 3}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}5&{ - 7}\\{ - 3}&{ - 4}\end{array}} \right|} \right) = ( - 57; - 29; - 41).\)
Do \(\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] \cdot \overrightarrow {{M_1}{M_2}} = ( - 57) \cdot 2 + ( - 29) \cdot ( - 11) + ( - 41) \cdot 5 = 0\) nên \({\vec u_1}\), \({\vec u_2}\), \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \) đồng phẳng.
Vậy \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau.
b) Đường thẳng \({\Delta _1}\) đi qua điểm \({M_1}( - 2;1;0)\) và có \({\vec u_1} = (5; - 1;3)\) là vectơ chỉ phương.
Đường thẳng \({\Delta _2}\) đi qua điểm \({M_2}( - 2;1;1)\) và có \({\vec u_2} = (4;5; - 6)\) là vectơ chỉ phương.
Ta có: \(\frac{5}{4} \ne \frac{{ - 1}}{5}\), suy ra \({\vec u_1},{\vec u_2}\) không cùng phương;
\(\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = (0;0;1),{\rm{ }}\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&3\\5&{ - 6}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&5\\{ - 6}&4\end{array}} \right|;{\rm{ }}\left| {{\mkern 1mu} \begin{array}{*{20}{c}}5&{ - 1}\\4&5\end{array}} \right|} \right) = ( - 9;42;29).\)
Do \(\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] \cdot \overrightarrow {{M_1}{M_2}} = ( - 9) \cdot 0 + 42 \cdot 0 + 29 \cdot 1 = 29 \ne 0\) nên \({\vec u_1},{\vec u_2},\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \) không đồng phẳng.
Vậy \({\Delta _1},{\Delta _2}\) chéo nhau.
c) Đường thẳng \({\Delta _1}\) đi qua điểm \({M_1}(0; - 5;1)\) và có \({\vec u_1} = (3;2; - 3)\) là vectơ chỉ phương.
Đường thẳng \({\Delta _2}\) đi qua điểm \({M_2}(1;3;1)\) và có \({\vec u_2} = ( - 6; - 4;6)\) là vectơ chỉ phương.
Ta có: \( - 2{\vec u_1} = {\vec u_2}\), suy ra \({\vec u_1},{\vec u_2}\) cùng phương;
\(\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = (1;8;0){\rm{ và }}\frac{3}{1} \ne \frac{2}{8}{\rm{ nên }}{\vec u_1},\overrightarrow {{M_1}{M_2}} {\rm{ không cùng phương}}{\rm{. }}\)
Vậy \({\Delta _1}//{\Delta _2}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.