Trong không gian Oxyz , chứng minh rằng hai đường thẳng sau vuông góc với nhau và chéo nhau:

$Δ_{1} : \{\begin{array}{l} x = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = - 1 + 2 t \end{array} và Δ_{2} : \frac{x - 4}{3} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{- 1} .$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 25 bài tập Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng (có lời giải) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đường thẳng ${\Delta _1}$ đi qua điểm ${A_1}(1;2; - 1)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}} = (1; - 1,2)$.

Đường thẳng ${\Delta _2}$ đi qua điểm ${{\rm{A}}_2}(4; - 1;0)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_2}} = (3;1; - 1)$. Vì $\overrightarrow {{u_1}} \cdot \overrightarrow {{u_2}} = 1 \cdot 3 + ( - 1) \cdot 1 + 2 \cdot ( - 1) = 0$ nên $\overrightarrow {{u_1}} $ vuông góc với $\overrightarrow {{u_2}} $. Do đó ${\Delta _1}$ vuông góc với ${\Delta _2}$.

Ta có $\overrightarrow {{A_1}{A_2}} = (3; - 3;1)$ và $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = ( - 1;7;4)$.

Do $\overrightarrow {{A_1}{A_2}} \cdot \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = 3 \cdot ( - 1) + ( - 3) \cdot 7 + 1 \cdot 4 = - 20 \ne 0$ nên ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ chéo nhau.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Kiểm tra tính song song hoặc trùng nhau của các cặp đường thẳng sau:

a) $d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 7 + 4t}\\{y = 3 - 2t}\\{z = 2 - 2t}\end{array}} \right.$ và d': $\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y - 5}}{{ - 1}} = \frac{{z - 4}}{{ - 1}}$;

b) $d:\frac{x}{3} = \frac{y}{3} = \frac{{z - 1}}{4}$ và d': $\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y - 9}}{3} = \frac{{z - 5}}{4}$.

Xem đáp án

Lời giải

a) Đường thẳng d đi qua ${\rm{M}}(7;3;2)$ và có vectơ chí phương $\vec a = (4; - 2; - 2)$

Đường thắng d' đi qua ${\rm{N}}(3;5;4)$ và có vectơ chí phương $\overrightarrow {{a^\prime }} = (2; - 1; - 1) = \frac{1}{2}\vec a$

Thay tọa độ điếm M vào phương trình đường thắng d' ta được

$\frac{{7 - 3}}{2} = \frac{{3 - 5}}{{ - 1}} = \frac{{2 - 4}}{{ - 1}}$ (luôn đúng). Suy ra điếm ${\rm{M}} \in {{\rm{d}}^\prime }$.

Vậy ${\rm{d}} \equiv d$ '.

b) Đường thắng d đi qua ${\rm{M}}(0;0;1)$ và có vectơ chỉ phương $\vec a = (3;3;4)$

Đường thẳng d' đi qua ${\rm{N}}(2;9;5)$ và có vectơ chí phương $\overrightarrow {{a^\prime }} = (3;3;4) = \vec a$

Thay tọa độ điếm M vào phương trình đường thắng ${{\rm{d}}^\prime }$ ta có:

$\frac{{0 - 2}}{3} = \frac{{0 - 9}}{3} = \frac{{1 - 5}}{4}$ (vô lí). Suy ra $M \notin {d^\prime }$.

Vậy d // d'.

Câu 2

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $Δ_{1} : \{\begin{array}{l} x = 1 + 5 t_{1} \\ y = 2 - t_{1} \\ z = 3 + 2 t_{1} \end{array}, Δ_{2} : \{\begin{cases} x = 2 + 10 t_{2} \\ y = 4 - 2 t_{2} \\ z = 1 + 4 t_{2} \end{cases}$ ;

b) $Δ_{1} : \frac{x - 2}{3} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z + 4}{1}, Δ_{2} : \frac{x + 2}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2}{- 3}$ ;
c) $Δ_{1} : \frac{x + 3}{1} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z - 2}{2}, Δ_{2} : \{\begin{cases} x = 6 + 3 t \\ y = 8 + 2 t \\ z = - 1 - t \end{cases}$

Xem đáp án

Lời giải

a) Đường thẳng ${\Delta _1}$ đi qua điểm ${M_1}(1;2;3)$ và có ${\vec u_1} = (5; - 1;2)$ là vectơ chỉ phương. Đường thẳng ${\Delta _2}$ đi qua điểm ${M_2}(2;4;1)$ và có ${\vec u_2} = (10; - 2;4)$ là vectơ chỉ phương. Ta có: $2{\vec u_1} = (10; - 2;4) = {\vec u_2}$, suy ra ${\vec u_1},{\vec u_2}$ cùng phương;

$\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = (1;2; - 2)$ và $\frac{1}{5} \ne \frac{2}{{ - 1}}$ nên ${\vec u_1},\overrightarrow {{M_1}{M_2}} $ không cùng phương. Vậy ${\Delta _1}//{\Delta _2}$.

b) Đường thẳng ${\Delta _1}$ đi qua điểm ${M_1}(2;3; - 4)$ và có ${\vec u_1} = (3;2;1)$ là vectơ chỉ phương. Đường thẳng ${\Delta _2}$ đi qua điểm ${M_2}( - 2;1;2)$ và có ${\vec u_2} = (2;1; - 3)$ là vectơ chỉ phương. Ta có: $\frac{2}{3} \ne \frac{1}{2}$, suy ra ${\vec u_1},{\vec u_2}$ không cùng phương; $\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = ( - 4; - 2;6),\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\1&{ - 3}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&3\\{ - 3}&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{l}}3&2\\2&1\end{array}} \right|} \right) = ( - 7;11; - 1){\rm{. }}$

Do $\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] \cdot \overrightarrow {{M_1}{M_2}} = ( - 7) \cdot ( - 4) + 11 \cdot ( - 2) + ( - 1) \cdot 6 = 0$ nên ${\vec u_1},{\vec u_2},\overrightarrow {{M_1}{M_2}} $ đồng phẳng.

Vậy ${\Delta _1}$ cắt ${\Delta _2}$.

c) Đường thẳng ${\Delta _1}$ đi qua điểm ${M_1}( - 3;1;2)$ và có ${\vec u_1} = (1; - 1;2)$ là vectơ chỉ phương. Đường thẳng ${\Delta _2}$ đi qua điểm ${M_2}(6;8; - 1)$ và có ${\vec u_2} = (3;2; - 1)$ là vectơ chi phương. Ta có:

$\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = (9;7; - 3),\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&2\\2&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\{ - 1}&3\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 1}\\3&2\end{array}} \right|} \right) = ( - 3;7;5).$

Do $\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] \cdot \overrightarrow {{M_1}{M_2}} = ( - 3) \cdot 9 + 7 \cdot 7 + 5 \cdot ( - 3) = 7 \ne 0$ nên ${\vec u_1},{\vec u_2},\overrightarrow {{M_1}{M_2}} $ không đồng phẳng.

Vậy ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ chéo nhau.

Câu 3