Trong không gian Oxyz , chứng minh rằng hai đường thẳng sau vuông góc với nhau và chéo nhau:

${\Delta }_1:\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2-t\\ z=-1+2t\end{array}\text{ và }{\Delta }_2:\frac{x-4}{3}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{-1}.\right.$

a) Ta có các vectơ chỉ phương của \(d\) và \({d^\prime }\) lân lượt là \(\vec a = (1;2; - 1)\) và \(\overrightarrow {{a^\prime }}  = (2;4; - 2)\). \({\rm{Vi}}\overrightarrow {{a^\prime }}  = 2\vec a\) nên \(\vec a\) và \(\overrightarrow {{a^\prime }} \) cùng phương. Từ đó suy ra \(d\) và \({d^\prime }\) song song với nhau hoặc trùng nhau.

Xét điểm \(M(1;0;3) \in d\), ta có \(M \notin {d^\prime }\) nên \(d//{d^\prime }\).

b) Ta có \(d\) và \({d^\prime }\) lản lượt nhận \(\vec a = (2;3;1)\) và \(\overrightarrow {{a^\prime }}  = (3;2;2)\) là các vectơ chỉ phương. Vi \(\vec a\) và \(\overrightarrow {{a^\prime }} \) không cùng phương nên \(d\) và \({d^\prime }\) cắt nhau hoặc chéo nhau. \({d^\prime }\) đi qua \(M(1; - 2; - 1)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a^\prime }}  = (3;2;2)\) nên có phương trình tham số là:

\({d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 3{t^\prime }}\\{y =  - 2 + 2{t^\prime }\left( {{t^\prime } \in \mathbb{R}} \right).}\\{z =  - 1 + 2{t^\prime }}\end{array}} \right.\)\({t^\prime } =  - \frac{2}{5}\), thay vào (3), ta thấy \(t\) và \({t^\prime }\) không thoả mãn (3).

Ta suy ra hệ phương trình trên vô nghiệm. Vậy hai đường thẳng \(d\) và \({d^\prime }\) chéo nhau.

c) Ta có: \(d\) đi qua \(M(0;1;0)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec a = (1; - 1;2)\); \({d^\prime }\) đi qua \({M^\prime }(1;2; - 2)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a^\prime }}  = (5;1; - 2)\).

Nên phương trình tham số của \(d\) và \({d^\prime }\) lẩn lượt là:

Xét hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 1 + 5{t^\prime }}\\{1 - t = 2 + {t^\prime }}\\{2t =  - 2 - 2{t^\prime }}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t - 5{t^\prime } = 1}\\{ - t - {t^\prime } = 1}\\{2t + 2{t^\prime } =  - 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t =  - \frac{2}{3}}\\{{t^\prime } =  - \frac{1}{3}}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Hệ phương trình trên có đúng một nghiệm, nên \(d\) và \({d^\prime }\) cắt nhau.

a) Đường thẳng \({\Delta _1}\) đi qua điểm \({M_1}( - 7;1; - 2)\) và có \({\vec u_1} = (5; - 7; - 2)\) là vectơ chỉ phương.

Đường thẳng \({\Delta _2}\) đi qua điểm \({M_2}( - 5; - 10;3)\) và có \({\vec u_2} = ( - 3; - 4;7)\) là vectơ chi phương.

Ta có: \(\frac{5}{{ - 3}} \ne \frac{{ - 7}}{{ - 4}}\), suy ra \({\vec u_1},{\vec u_2}\) không cùng phương;

\(\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = (2; - 11;5),{\rm{ }}\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 7}&{ - 2}\\{ - 4}&7\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&5\\7&{ - 3}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}5&{ - 7}\\{ - 3}&{ - 4}\end{array}} \right|} \right) = ( - 57; - 29; - 41).\)

Do \(\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] \cdot \overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = ( - 57) \cdot 2 + ( - 29) \cdot ( - 11) + ( - 41) \cdot 5 = 0\) nên \({\vec u_1}\), \({\vec u_2}\), \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \) đồng phẳng.

Vậy \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau.

b) Đường thẳng \({\Delta _1}\) đi qua điểm \({M_1}( - 2;1;0)\) và có \({\vec u_1} = (5; - 1;3)\) là vectơ chỉ phương.

Đường thẳng \({\Delta _2}\) đi qua điểm \({M_2}( - 2;1;1)\) và có \({\vec u_2} = (4;5; - 6)\) là vectơ chỉ phương.

Ta có: \(\frac{5}{4} \ne \frac{{ - 1}}{5}\), suy ra \({\vec u_1},{\vec u_2}\) không cùng phương;

\(\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = (0;0;1),{\rm{ }}\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&3\\5&{ - 6}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&5\\{ - 6}&4\end{array}} \right|;{\rm{ }}\left| {{\mkern 1mu} \begin{array}{*{20}{c}}5&{ - 1}\\4&5\end{array}} \right|} \right) = ( - 9;42;29).\)

Do \(\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] \cdot \overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = ( - 9) \cdot 0 + 42 \cdot 0 + 29 \cdot 1 = 29 \ne 0\) nên \({\vec u_1},{\vec u_2},\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \) không đồng phẳng.

Vậy \({\Delta _1},{\Delta _2}\) chéo nhau.

c) Đường thẳng \({\Delta _1}\) đi qua điểm \({M_1}(0; - 5;1)\) và có \({\vec u_1} = (3;2; - 3)\) là vectơ chỉ phương.

Đường thẳng \({\Delta _2}\) đi qua điểm \({M_2}(1;3;1)\) và có \({\vec u_2} = ( - 6; - 4;6)\) là vectơ chỉ phương.

Ta có: \( - 2{\vec u_1} = {\vec u_2}\), suy ra \({\vec u_1},{\vec u_2}\) cùng phương;

\(\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = (1;8;0){\rm{ và  }}\frac{3}{1} \ne \frac{2}{8}{\rm{ nên }}{\vec u_1},\overrightarrow {{M_1}{M_2}} {\rm{ không cùng phương}}{\rm{. }}\)

Vậy \({\Delta _1}//{\Delta _2}\).