Bằng cách giải hệ phương trình, xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng:

\({\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {t_1}}\\{y = 1}\\{z = 0}\end{array}} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = {t_2}}\\{z = 0.}\end{array}} \right.\)

Kiểm tra tính song song hoặc trùng nhau của các cặp đường thẳng sau:

a) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 7 + 4t}\\{y = 3 - 2t}\\{z = 2 - 2t}\end{array}} \right.\) và d': \(\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y - 5}}{{ - 1}} = \frac{{z - 4}}{{ - 1}}\);

b) \(d:\frac{x}{3} = \frac{y}{3} = \frac{{z - 1}}{4}\) và d': \(\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y - 9}}{3} = \frac{{z - 5}}{4}\).

Viết phương trình tham số của đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A(1;0;1)\) và song song với đường thẳng \({d^\prime }:\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{4}\).

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) trong mỗi trường hợp sau:

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 3}}{4}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{4}\). Chứng minh rằng:

a) Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) song song với nhau;

b) Đường thẳng \({\Delta _1}\) và trục Ox chéo nhau;

c) Ðường thẳng \({\Delta _2}\) trùng với đường thẳng \({\Delta _3}:\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z + 4}}{4}\);

d) Đường thẳng \({\Delta _2}\) cắt trục Oz .

Trong không gian Oxyz, xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) trong mỗi trường hợp sau:

a) ${\Delta }_1:\frac{x+7}{5}=\frac{y-1}{-7}=\frac{z+2}{-2} và {\Delta }_2:\left\{\begin{array}{l}x=-5-3t\\ y=-10-4t\\ z=3+7t\end{array}\right. (t là tham số)$

b) ${\Delta }_1:\left\{\begin{array}{l}x=-2+5t\\ y=1-t\\ z=3t\end{array}(t\right.là tham số) và {\Delta }_2:\frac{x+2}{4}=\frac{y-1}{5}=\frac{z-1}{-6}$

c) ${\Delta }_1:\frac{x}{3}=\frac{y+5}{2}=\frac{z-1}{-3} và {\Delta }_2:\frac{x-1}{-6}=\frac{y-3}{-4}=\frac{z-1}{6}$

Kiểm tra tính vuông góc của các cặp đường thẳng sau:

a) \(d:\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y - 1}}{5} = \frac{{z - 3}}{1}\) và \({d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 2 + t}\\{y = 7 + t}\\{z = 9 - 8t}\end{array}} \right.\)

b) \(d:\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y - 1}}{5} = \frac{{z - 3}}{1}\) và \({d^\prime }:\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y - 7}}{1} = \frac{{z - 9}}{1}\).