Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ${\Delta _1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 3}}{4}$ và ${\Delta _2}:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{4}$. Chứng minh rằng:

a) Hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ song song với nhau;

b) Đường thẳng ${\Delta _1}$ và trục Ox chéo nhau;

c) Ðường thẳng ${\Delta _2}$ trùng với đường thẳng ${\Delta _3}:\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z + 4}}{4}$;

d) Đường thẳng ${\Delta _2}$ cắt trục Oz .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 25 bài tập Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng (có lời giải) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đường thả̉ng ${\Delta _1}$ đi qua điếm ${\rm{A}}(1; - 2;3)$ và có vectơ chí phương $\overrightarrow {{u_{{\Delta _1}}}} = (1;1;4)$ Đường thắng ${\Delta _2}$ đi qua điếm ${\rm{B}}( - 1; - 1;0)$ và có vectơ chí phương $\overrightarrow {{u_{{\Delta _2}}}} = (1;1;4)$

a) vi $\overrightarrow {{u_{{\Delta _1}}}} = \overrightarrow {{u_{{\Delta _2}}}} = (1;1;4)$ và $A \notin {\Delta _2}$ nên hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ song song với nhau.

b) Trục OX đi qua điếm ${\rm{O}}(0;0;0)$ và có vectơ chỉ phương là $\vec i = (1;0;0)$

Có $\overrightarrow {OA} = (1; - 2;3)$ và $\left[ {\vec i,\overrightarrow {{u_{{\Delta _1}}}} } \right] = (0; - 4;1)$.

Có $\overrightarrow {OA} \cdot \left[ {\vec i,\overrightarrow {{u_{{\Delta _1}}}} } \right] = 8 + 3 = 11 \ne 0$. Do đó đường thẳng ${\Delta _1}$ và trục Ox chéo nhau.

c) Đường thắng ${\Delta _3}$ đi qua điểm ${\rm{C}}( - 2; - 2; - 4)$ và có vectơ chỉ phương .

vi $\overrightarrow {{u_{{\Delta _2}}}} = \overrightarrow {{u_{{\Delta _3}}}} = (1;1;4)$ và ${\rm{B}} \in {\Delta _3}$ nên đường thắng ${\Delta _2}$ trùng với đường thắng ${\Delta _3}$.

d) Trục Oz đi qua điếm ${\rm{O}}(0;0;0)$ và có vectơ chỉ phương là $\vec k = (0;0;1)$.

Có $\overrightarrow {OB} = ( - 1; - 1;0),\left[ {\vec k,\overrightarrow {{u_{{\Delta _2}}}} } \right] = ( - 1;1;0) \ne \vec 0$

Có $\overrightarrow {OB} \cdot \left[ {\vec k,\overrightarrow {{u_{{\Delta _2}}}} } \right] = 1 - 1 = 0$. Do đó đường thắng ${\Delta _2}$ cắt trục Oz .

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Kiểm tra tính song song hoặc trùng nhau của các cặp đường thẳng sau:

a) $d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 7 + 4t}\\{y = 3 - 2t}\\{z = 2 - 2t}\end{array}} \right.$ và d': $\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y - 5}}{{ - 1}} = \frac{{z - 4}}{{ - 1}}$;

b) $d:\frac{x}{3} = \frac{y}{3} = \frac{{z - 1}}{4}$ và d': $\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y - 9}}{3} = \frac{{z - 5}}{4}$.

Xem đáp án

Lời giải

a) Đường thẳng d đi qua ${\rm{M}}(7;3;2)$ và có vectơ chí phương $\vec a = (4; - 2; - 2)$

Đường thắng d' đi qua ${\rm{N}}(3;5;4)$ và có vectơ chí phương $\overrightarrow {{a^\prime }} = (2; - 1; - 1) = \frac{1}{2}\vec a$

Thay tọa độ điếm M vào phương trình đường thắng d' ta được

$\frac{{7 - 3}}{2} = \frac{{3 - 5}}{{ - 1}} = \frac{{2 - 4}}{{ - 1}}$ (luôn đúng). Suy ra điếm ${\rm{M}} \in {{\rm{d}}^\prime }$.

Vậy ${\rm{d}} \equiv d$ '.

b) Đường thắng d đi qua ${\rm{M}}(0;0;1)$ và có vectơ chỉ phương $\vec a = (3;3;4)$

Đường thẳng d' đi qua ${\rm{N}}(2;9;5)$ và có vectơ chí phương $\overrightarrow {{a^\prime }} = (3;3;4) = \vec a$

Thay tọa độ điếm M vào phương trình đường thắng ${{\rm{d}}^\prime }$ ta có:

$\frac{{0 - 2}}{3} = \frac{{0 - 9}}{3} = \frac{{1 - 5}}{4}$ (vô lí). Suy ra $M \notin {d^\prime }$.

Vậy d // d'.

Câu 2

Viết phương trình tham số của đường thẳng $d$ đi qua điểm $A(1;0;1)$ và song song với đường thẳng ${d^\prime }:\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{4}$.

Xem đáp án

Lời giải

Đường thắng d' có vectơ chí phương là $\vec a = (3;2;4)$

Vi d // d' nên đường thắng d nhận $\vec a = (3;2;4)$ làm vectơ chỉ phương.

Đường thẳng d đi qua điếm ${\rm{A}}(1;0;1)$ và nhận $\vec a = (3;2;4)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 3t}\\{y = 2t}\\{z = 1 + 4t}\end{array}} \right.$

Câu 3