Trong không gian \[Oxyz\]cho ba đường thẳng \[d:\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}},\]\[{\Delta _1}:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{1},\]\[{\Delta _2}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{z}{1}\]. Đường thẳng \[\Delta \]vuông góc với \[d\] đồng thời cắt \[{\Delta _1},{\Delta _2}\] tương ứng tại \[H,K\] sao cho độ dài \[HK\] nhỏ nhất. Biết rằng \[\Delta \] có một vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u \left( {h;k;1} \right).\] Tính giá trị \[h - k\].
Trong không gian \[Oxyz\]cho ba đường thẳng \[d:\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}},\]\[{\Delta _1}:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{1},\]\[{\Delta _2}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{z}{1}\]. Đường thẳng \[\Delta \]vuông góc với \[d\] đồng thời cắt \[{\Delta _1},{\Delta _2}\] tương ứng tại \[H,K\] sao cho độ dài \[HK\] nhỏ nhất. Biết rằng \[\Delta \] có một vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u \left( {h;k;1} \right).\] Tính giá trị \[h - k\].
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án: \[h - k = 0\]
\[H \in {\Delta _1} \Leftrightarrow H\left( {3 + 2t;t;1 + t} \right)\].
\[K \in {\Delta _2} \Leftrightarrow K\left( {1 + m;2 + 2m;m} \right)\].
Ta có\[\overrightarrow {HK} = \left( {m - 2t - 2;2m - t + 2;m - t - 1} \right)\].
Đường thẳng \[d\] có một VTCP là \[\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1;1; - 2} \right)\].
\[\Delta \bot d \Leftrightarrow \]\[\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {HK} = 0\]\[ \Leftrightarrow m - t + 2 = 0 \Leftrightarrow m = t - 2 \Rightarrow \overrightarrow {HK} = \left( { - t - 4;t - 2; - 3} \right).\]
Ta có\[H{K^2} = {\left( { - t - 4} \right)^2} + {\left( {t - 2} \right)^2} + {\left( { - 3} \right)^2} = 2{\left( {t + 1} \right)^2} + 27 \ge 27,\forall t \in \mathbb{R}\]
\[ \Rightarrow minHK = \sqrt {27} ,\]đạt được khi \[t = - 1\].
Khi đó ta có \[\overrightarrow {HK} = \left( { - 3; - 3; - 3} \right)\], suy ra \[\overrightarrow u \left( {1;1;1} \right) \Rightarrow h = k = 1 \Rightarrow h - k = 0.\]
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án: \[P = 0\]
Ta có \[d{\rm{//}}\Delta \].
Chọn \[A\left( {2;\, - 1;\,1} \right) \in \left( d \right),\,B\left( {3;\, - 2;\,1} \right) \in \left( \Delta \right)\].
\[\overrightarrow {AB} = \left( {1;\, - 1;\,0} \right)\]
Phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng \[\left( d \right)\] và \[\left( \Delta \right)\] qua \[A\left( {2;\, - 1;\,1} \right)\] và có VTPT \[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {{u_{\left( d \right)}}} } \right] = \left( { - 2;\, - 2;\,4} \right) = - 2\left( {1;\,1;\, - 2} \right)\] là:
\[1\left( {x - 2} \right) + 1\left( {y + 1} \right) - 2\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - 2z + 1 = 0\].
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án: khoảng cách từ \(A\)đến mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) bằng \(3\).
Đường thẳng \(d:\frac{{x - 5}}{2} = \frac{{y + 7}}{2} = \frac{{z - 12}}{{ - 1}}\) có một vectơ chỉ phương là \[\overrightarrow u = \left( {2\,;\,2\,;\, - 1} \right)\].
Mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + 2y - 3z - 3 = 0\)có một vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow n = \left( {1\,;\,2\,;\, - 3} \right)\].
Ta có: \[\sin \left( {d\,;\,\left( \alpha \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} \,.\,\overrightarrow {{n_\alpha }} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|\,.\,\left| {\overrightarrow {{n_\alpha }} } \right|}} = \frac{{3\sqrt {14} }}{{14}}\].
Gọi \[H\] là hình chiếu vuông góc của \(A\)lên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Khi đó tam giác \(\Delta MAH\) vuông tại \[H\] nên \[\sin \left( {d\,;\,\left( \alpha \right)} \right) = \sin \widehat {AMH} = \frac{{AH}}{{AM}}\].
\[ \Rightarrow AH = AM\,.\,\sin \left( {d\,;\,\left( \alpha \right)} \right) = 3\].
Vậy khoảng cách từ \(A\)đến mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) bằng \(3\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập